В треугольнике ABC угол B равен 120, внешний угол при вершине C равен 150, сторона BC равна 50. Из вершины A проведена высота AH. Найдите длину отрезка BH.

Для решения задачи без использования косинуса воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника. 1. Найдём внутренний угол $C$ треугольника $ABC$. Так как внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$, то внутренний $\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. 2. Найдём угол $A$ треугольника $ABC$: $\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (120^\circ + 30^\circ) = 30^\circ$. Поскольку $\angle A = \angle C = 30^\circ$, треугольник $ABC$ — равнобедренный, и сторона $AB = BC = 50$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$, где $AH$ — высота к прямой $BC$. Так как $\angle ABC = 120^\circ$, смежный с ним угол $ABH$ (внешний угол треугольника при вершине $B$) равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. 4. В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $BAH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. По свойству катета, лежащего против угла в $30^\circ$, отрезок $BH$ равен половине гипотенузы $AB$: $BH = \frac{AB}{2} = \frac{50}{2} = 25$. **Ответ: 25**