1. Прямая KE касается окружности с центром в точке O, K - точка касания. Найдите OE, если KE = 8 см, а радиус окружности равен 6 см.

1. **Дано:** $KE$ — касательная, $K$ — точка касания, $OK$ — радиус, $OK = 6$ см, $KE = 8$ см. Найти $OE$. **Решение:** По свойству касательной, радиус $OK$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной $KE$ ($OK \perp KE$). Следовательно, $\triangle OKE$ — прямоугольный с прямым углом $K$. По теореме Пифагора: $OE^2 = OK^2 + KE^2$ $OE^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ $OE = \sqrt{100} = 10$ (см). **Ответ:** 10 см. 2. **Дано:** $\triangle ABC$, $AB = 4$ см, $BC = 3$ см, $AC = 5$ см. Окружность с центром в $C$ и радиусом $r = 3$ см. Доказать, что $AB$ — отрезок касательной. **Доказательство:** Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора: $AC^2 = 5^2 = 25$ $AB^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ Так как $AC^2 = AB^2 + BC^2$, то $\triangle ABC$ — прямоугольный с прямым углом $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$). Отрезок $BC$ является радиусом окружности, так как его длина (3 см) равна радиусу. Поскольку $AB \perp BC$ (радиусу в точке $B$), то по признаку касательной прямая $AB$ является касательной к окружности, а отрезок $AB$ — отрезком касательной. Что и требовалось доказать.