а) Решите уравнение 9^sin(x) + 9^-sin(x) = 10/3. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π].

а) Решим уравнение $9^{\sin x} + 9^{-\sin x} = \frac{10}{3}$. Пусть $9^{\sin x} = t$, где $t > 0$. Тогда: $t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$ $3t^2 - 10t + 3 = 0$ $D = 100 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$ $t_1 = \frac{10 + 8}{6} = 3; \quad t_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}$ Вернемся к замене: 1) $9^{\sin x} = 3 \Rightarrow 3^{2\sin x} = 3^1 \Rightarrow 2\sin x = 1 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$ $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ (или $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$) 2) $9^{\sin x} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3^{2\sin x} = 3^{-1} \Rightarrow 2\sin x = -1 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2}$ $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ (или $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$) Объединяя решения: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. б) Найдем корни на отрезке $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$. $-\frac{7\pi}{2} = -3,5\pi$ 1. $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = -2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6} \approx -3,83\pi$ (вне); при $k = -1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6} \approx -1,83\pi$ (вне). 2. $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = -2 \Rightarrow x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6} \approx -3,17\pi$ (входит). 3. $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \approx -2,17\pi$ (входит). 4. $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: при $k = -1 \Rightarrow x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6} \approx -2,83\pi$ (входит). при $k = -2 \Rightarrow x = -\frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{29\pi}{6} \approx -4,83\pi$ (вне). **Ответ:** а) $\pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $-\frac{19\pi}{6}; -\frac{17\pi}{6}; -\frac{13\pi}{6}$