В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 1, BC = 7\sqrt{3}. \angle ABC = 150^\circ. Через диагональ AC и вершину B1 проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол в 60^\circ. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

1. Найдем диагональ $AC$ треугольника $ABC$ по теореме косинусов. Так как $\angle ABC = 150^\circ$, то $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(150^\circ) = 1^2 + (7\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 + 147 + 21 = 169$. $AC = \sqrt{169} = 13$. 2. Найдем высоту $BH$ треугольника $ABC$, опущенную на сторону $AC$. Площадь треугольника $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 7\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{4}$. С другой стороны, $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot BH = 6.5 \cdot BH$. Приравняем результаты: $6.5 \cdot BH = \frac{7\sqrt{3}}{4} \Rightarrow BH = \frac{7\sqrt{3}}{26}$. 3. В прямом параллелепипеде ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания. Угол между плоскостью сечения $(AB_1C)$ и основанием $(ABCD)$ — это угол $\angle B_1HB = 60^\circ$. Из прямоугольного треугольника $\triangle BB_1H$: $BB_1 = BH \cdot \tan(60^\circ) = \frac{7\sqrt{3}}{26} \cdot \sqrt{3} = \frac{7 \cdot 3}{26} = \frac{21}{26}$. 4. Периметр основания $P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (1 + 7\sqrt{3})$. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = P \cdot BB_1 = 2 \cdot (1 + 7\sqrt{3}) \cdot \frac{21}{26} = (1 + 7\sqrt{3}) \cdot \frac{21}{13} = \frac{21 + 147\sqrt{3}}{13}$. **Ответ: $\frac{21 + 147\sqrt{3}}{13}$**