Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды 4 см и 6 см, высота 3 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решим задачи по очереди. ### Задача 1 Дано: правильная шестиугольная усеченная пирамида, стороны оснований $a=4$ см и $b=6$ см, высота $h=3$ см. Найти площадь боковой поверхности $S_{бок}$. 1. Боковая поверхность состоит из 6 равных равнобоких трапеций. 2. Стороны трапеции: основания $a=4$ и $b=6$. Нужно найти апофему (высоту трапеции) $l$. 3. Рассмотрим сечение через центры оснований и середины сторон. Образуется прямоугольная трапеция с высотами $3$ (высота пирамиды) и катетами, равными разности радиусов вписанных окружностей оснований. 4. Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника со стороной $a$ равен $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. $r_1 = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. $r_2 = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. 5. Апофема $l$ находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника: $l = \sqrt{h^2 + (r_2 - r_1)^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3} - 2\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. 6. Площадь одной трапеции: $S_{тр} = \frac{a+b}{2} \cdot l = \frac{4+6}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 5 \cdot 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$. 7. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 6 \cdot 10\sqrt{3} = 60\sqrt{3}$ см$^2$. **Ответ: 2) $60\sqrt{3}$ см$^2$.** ### Задача 2 Дано: правильная четырехугольная усеченная пирамида, $a_{верх} : a_{нижн} = 2:3$, $S_{полн} = 92$ см$^2$, апофема $l = \frac{a_{нижн}}{3}$. Найти $a_{верх}$ и $a_{нижн}$. 1. Пусть $a_{верх} = 2x$, тогда $a_{нижн} = 3x$. Тогда апофема $l = \frac{3x}{3} = x$. 2. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{нижн} + S_{верх} + S_{бок}$. $S_{нижн} = (3x)^2 = 9x^2$. $S_{верх} = (2x)^2 = 4x^2$. $S_{бок} = 4 \cdot \frac{2x + 3x}{2} \cdot l = 4 \cdot \frac{5x}{2} \cdot x = 10x^2$. 3. Сумма: $9x^2 + 4x^2 + 10x^2 = 92$. $23x^2 = 92$. $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$. 4. Стороны: $a_{верх} = 2 \cdot 2 = 4$ см, $a_{нижн} = 3 \cdot 2 = 6$ см. **Ответ: 1) 4 см и 6 см.**