Контрольная работа №4 по теме «Системы уравнений». Вариант 1. №1. Какие из следующих пар чисел (0; -1,5), (-1; 1), (1; -2) являются решением уравнения x - 2y = 3?

### Обязательная часть **№1.** Подставим пары чисел $(x; y)$ в уравнение $x - 2y = 3$: 1) $(0; -1,5): 0 - 2 \cdot (-1,5) = 0 + 3 = 3$ (верно) 2) $(-1; 1): -1 - 2 \cdot 1 = -3 \neq 3$ (неверно) 3) $(1; -2): 1 - 2 \cdot (-2) = 1 + 4 = 5 \neq 3$ (неверно) **Ответ:** $(0; -1,5)$. **№2.** Выразим $y$: $y = 3x - 2$. Для построения прямой возьмем две точки: Если $x = 0$, то $y = -2$. Точка $(0; -2)$. Если $x = 1$, то $y = 1$. Точка $(1; 1)$. :::div .chart-container @chart-1::: **№3.** Прямая проходит через начало координат $(0; 0)$, если при подстановке $x=0$ получается $y=0$ (уравнение вида $y = kx$): $y = 2x - 4 \Rightarrow 0 = -4$ (нет); $y = \frac{1}{2}x \Rightarrow 0 = 0$ (да); $y = 2 \Rightarrow 0 = 2$ (нет). **Ответ:** $y = \frac{1}{2}x$. **№4.** Решим систему методом подстановки: $\begin{cases} x + y = 4 \\ 3x - 2y = 17 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 4 - y \\ 3(4 - y) - 2y = 17 \end{cases} \Rightarrow 12 - 3y - 2y = 17 \Rightarrow -5y = 5 \Rightarrow y = -1$. $x = 4 - (-1) = 5$. **Ответ:** $(5; -1)$. **№5.** Решим систему уравнений: $\begin{cases} y = x + 2 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} \Rightarrow x^2 + (x + 2)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + x^2 + 4x + 4 - 10 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 4x - 6 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 1, x_2 = -3$. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 + 2 = 3$. Если $x_2 = -3$, то $y_2 = -3 + 2 = -1$. **Ответ:** $(1; 3), (-3; -1)$. ### Дополнительная часть **№6.** Сложим все три уравнения: $(x + y) + (y + z) + (z + x) = 7 - 1 - 2 \Rightarrow 2(x + y + z) = 4 \Rightarrow x + y + z = 2$. 1) Т.к. $x + y = 7$, то $7 + z = 2 \Rightarrow z = -5$. 2) Т.к. $y + z = -1$, то $x + (-1) = 2 \Rightarrow x = 3$. 3) Т.к. $z + x = -2$, то $y + (-2) = 2 \Rightarrow y = 4$. **Ответ:** $(3; 4; -5)$. **№7.** У параллельных прямых угловые коэффициенты равны, значит $k = 2$. Уравнение ищем в виде $y = 2x + b$. Подставим точку $A(4; 7)$: $7 = 2 \cdot 4 + b \Rightarrow 7 = 8 + b \Rightarrow b = -1$. **Ответ:** $y = 2x - 1$. **№8.** Пусть Федору $x$ лет, брату $y$ лет. $\begin{cases} x + y = 20 \\ x - 4 = 2(y - 4) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 20 - y \\ 20 - y - 4 = 2y - 8 \end{cases} \Rightarrow 16 - y = 2y - 8 \Rightarrow 3y = 24 \Rightarrow y = 8$. $x = 20 - 8 = 12$. **Ответ:** Федору 12 лет, брату 8 лет.