В треугольнике CDE стороны CE и DE равны, биссектрисы CM и DH пересекаются в точке A. Докажите, что ΔDAM = ΔCAH.

Дано: $\triangle CDE$, $CE = DE$, $CM$ и $DH$ — биссектрисы, $CM \cap DH = A$. Доказать: $\triangle DAM = \triangle CAH$. **Доказательство:** 1. Так как $CE = DE$, то $\triangle CDE$ — равнобедренный с основанием $CD$. Следовательно, углы при основании равны: $\angle ECD = \angle EDC$. 2. $CM$ и $DH$ — биссектрисы равных углов $\angle ECD$ и $\angle EDC$. Значит, их половины также равны: $\angle MCD = \angle ECM = \angle HDC = \angle EDH = \frac{1}{2} \angle ECD$. 3. Рассмотрим $\triangle MCD$ и $\triangle HDC$: - $CD$ — общая сторона; - $\angle MCD = \angle HDC$ (из пункта 2); - $\angle MDC = \angle HCD$ (как углы при основании равнобедренного $\triangle CDE$). Следовательно, $\triangle MCD = \triangle HDC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: - $CM = DH$; - $MD = HC$; - $\angle CMD = \angle CHD$. 5. В $\triangle ACD$ углы при основании $\angle ACD$ (он же $\angle MCD$) и $\angle ADC$ (он же $\angle HDC$) равны. Значит, $\triangle ACD$ — равнобедренный, и $AC = AD$. 6. Так как $CM = DH$ и $AC = AD$, то длины отрезков биссектрис от точки пересечения до сторон также равны: $AM = CM - AC$; $AH = DH - AD$; Следовательно, $AM = AH$. 7. Рассмотрим $\triangle DAM$ и $\triangle CAH$: - $AD = AC$ (из пункта 5); - $AM = AH$ (из пункта 6); - $\angle DAM = \angle CAH$ (как вертикальные углы). Следовательно, $\triangle DAM = \triangle CAH$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). **Что и требовалось доказать.**