Вариант 1. Часть А. 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 7, а диагональ — 25. Найдите другую сторону прямоугольника.

### Часть А 1. По теореме Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$: $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см. **Ответ: 13 см.** 2. Пусть сторона равна $a$, диагональ $d$. По теореме Пифагора $d^2 = a^2 + b^2$: $b = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$. **Ответ: 24.** 3. По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$: $a = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$ дм. **Ответ: 20 дм.** 4. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\\angle C = 90^\circ$) тангенс угла $A$ — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $\tan A = \frac{BC}{AC}$. Найдем $AC$ по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$. $\tan A = \frac{8}{15}$. **Ответ: \frac{8}{15}.** ### Часть В 5. В равностороннем треугольнике высота $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a = 6$ см. $h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см. **Ответ: 3\sqrt{3} см.** 6. Дано: $a = 5$ см, $b = 17$ см, боковая сторона $c = 10$ см. 1) Найдем проекцию боковой стороны на большее основание: $x = \frac{b - a}{2} = \frac{17 - 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см. 2) Найдем высоту трапеции $h$ из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $h = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см. 3) Площадь трапеции $S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{5 + 17}{2} \cdot 8 = 11 \cdot 8 = 88$ см$^2$. **Ответ: 88 см^2.**