23. Прямые m и n параллельны. Найдите угол 3, если угол 1 = 109, угол 2 = 57. Ответ дайте в градусах.

Для решения задач на параллельные прямые используются свойства углов: соответственные и накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$. **23.** Прямые $m$ и $n$ параллельны. Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 109^{\circ}$, $\angle 2 = 57^{\circ}$. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются соответственными при параллельных прямых $m, n$ и секущей, поэтому они равны. Однако, судя по рисунку, $\angle 3$ смежный с углом, который соответствует $\angle 1$, либо $\angle 3$ и $\angle 1$ — внешние односторонние. Если $\angle 1$ и $\angle 3$ — соответственные: $\angle 3 = \angle 1 = 109^{\circ}$. Если $\angle 1$ и $\angle 3$ — односторонние: $\angle 3 = 180^{\circ} - 109^{\circ} = 71^{\circ}$. На чертеже $\angle 3$ тупой, значит $\angle 3 = \angle 1 = 109^{\circ}$. **Ответ: 109**. **24.** Параллельные прямые $AB$ и $CD$ пересекают прямую $EF$ в точках $K$ и $M$. Угол $CMF = 130^{\circ}$. Найдите $\angle BKF$. $\angle CMF$ и $\angle BKF$ — соответственные углы при параллельных прямых $AB \parallel CD$ и секущей $EF$. Соответственные углы равны. $\angle BKF = \angle CMF = 130^{\circ}$. **Ответ: 130**. **25.** Прямые $m$ и $n$ параллельны. Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 117^{\circ}$, $\angle 2 = 24^{\circ}$. $\angle 3$ является внешним углом для треугольника, образованного секущими, или находится через накрест лежащие углы. $\angle 3 = \angle 1 - \angle 2 = 117^{\circ} - 24^{\circ} = 93^{\circ}$. **Ответ: 93**. **28.** Прямые $m$ и $n$ параллельны. Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 133^{\circ}$, $\angle 2 = 43^{\circ}$. Аналогично задаче 25: $\angle 3 = \angle 1 - \angle 2 = 133^{\circ} - 43^{\circ} = 90^{\circ}$. **Ответ: 90**. **31.** Биссектриса внешнего угла при вершине $B$ треугольника $ABC$ параллельна стороне $AC$. Найдите $\angle C$, если $\angle BAC = 24^{\circ}$. Пусть внешний угол при вершине $B$ равен $\beta_{ext}$. Тогда биссектриса делит его на два угла по $\frac{\beta_{ext}}{2}$. Так как биссектриса параллельна $AC$, то $\frac{\beta_{ext}}{2} = \angle BAC$ (как накрест лежащие) $\Rightarrow \frac{\beta_{ext}}{2} = 24^{\circ}$. Угол $\angle ACB$ также равен $\frac{\beta_{ext}}{2}$ как накрест лежащий или соответственный при параллельных прямых. $\angle ACB = 24^{\circ}$. **Ответ: 24**. **34.** В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$ угол $C$ в $4$ раза больше угла $A$. Найдите величину внешнего угла при вершине $B$. Пусть $\angle A = x$, тогда $\angle B = x$ (углы при основании), а $\angle C = 4x$. Сумма углов треугольника: $x + x + 4x = 180^{\circ} \Rightarrow 6x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 30^{\circ}$. Внутренний угол $B = 30^{\circ}$. Внешний угол при вершине $B = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$. **Ответ: 150**.