Докажите тождество: (1 + cos(alpha/2) - sin(alpha/2)) / (1 - cos(alpha/2) - sin(alpha/2)) = -ctg(alpha/4)

Для доказательства тождества воспользуемся формулами двойного аргумента: $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$, $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. В нашем случае $2x = \frac{\alpha}{2}$, значит $x = \frac{\alpha}{4}$. 1. Преобразуем числитель левой части: $1 + \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} = 2\cos^2 \frac{\alpha}{4} - 2\sin \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{4} = 2\cos \frac{\alpha}{4} \left( \cos \frac{\alpha}{4} - \sin \frac{\alpha}{4} \right)$ 2. Преобразуем знаменатель левой части: $1 - \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} = 2\sin^2 \frac{\alpha}{4} - 2\sin \frac{\alpha}{4} \cos \frac{\alpha}{4} = 2\sin \frac{\alpha}{4} \left( \sin \frac{\alpha}{4} - \cos \frac{\alpha}{4} \right)$ 3. Подставим выражения в дробь: $\frac{2\cos \frac{\alpha}{4} \left( \cos \frac{\alpha}{4} - \sin \frac{\alpha}{4} \right)}{2\sin \frac{\alpha}{4} \left( \sin \frac{\alpha}{4} - \cos \frac{\alpha}{4} \right)} = \frac{\cos \frac{\alpha}{4} \left( \cos \frac{\alpha}{4} - \sin \frac{\alpha}{4} \right)}{-\sin \frac{\alpha}{4} \left( \cos \frac{\alpha}{4} - \sin \frac{\alpha}{4} \right)} = -\frac{\cos \frac{\alpha}{4}}{\sin \frac{\alpha}{4}} = -\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{4}$ Тождество доказано. **Ответ: $-\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{4}$**