Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Чему равна собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

1. Решите уравнение: а) $\frac{3x + 4}{x^2 - 16} = \frac{x^2}{x^2 - 16}$ Знаменатели равны, приравняем числители при условии $x^2 - 16 \neq 0$ ($x \neq \pm 4$): $3x + 4 = x^2$ $x^2 - 3x - 4 = 0$ $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$ $x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4$ (не подходит по ОДЗ) $x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1$ Ответ: -1 б) $\frac{3}{x - 5} + \frac{8}{x} = 2$ ОДЗ: $x \neq 5, x \neq 0$. Умножим на $x(x - 5)$: $3x + 8(x - 5) = 2x(x - 5)$ $3x + 8x - 40 = 2x^2 - 10x$ $2x^2 - 21x + 40 = 0$ $D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121$ $x_1 = \frac{21 + 11}{4} = 8$ $x_2 = \frac{21 - 11}{4} = 2,5$ Ответ: 2,5; 8 2. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера ($x > 3$). Тогда скорость по течению — $(x + 3)$ км/ч, против течения — $(x - 3)$ км/ч. Время против течения: $\frac{12}{x - 3}$, по течению: $\frac{5}{x + 3}$. Время по озеру (в стоячей воде): $\frac{18}{x}$. Составим уравнение: $\frac{12}{x - 3} + \frac{5}{x + 3} = \frac{18}{x}$ $\frac{12(x + 3) + 5(x - 3)}{x^2 - 9} = \frac{18}{x}$ $\frac{12x + 36 + 5x - 15}{x^2 - 9} = \frac{18}{x}$ $\frac{17x + 21}{x^2 - 9} = \frac{18}{x}$ $17x^2 + 21x = 18x^2 - 162$ $x^2 - 21x - 162 = 0$ $D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089 = 33^2$ $x_1 = \frac{21 + 33}{2} = 27$ $x_2 = \frac{21 - 33}{2} = -6$ (не подходит, скорость $> 0$) Ответ: 27 км/ч