1. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 67°. Найти второй острый угол треугольника. 2. Один из углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, равен 117°. Найти градусные меры всех остальных образовавшихся углов. 3. Найти углы треугольника FPK, если угол F в 4 раза больше угла P и на 54° меньше угла К. 4. Два внутренних угла треугольника относятся как 5:9, а внешний угол при третьей вершине равен 140°. Найти углы треугольника. 5. В треугольнике DEF O - точка пересечения биссектрис. ∠DOF=108°. Найти величину угла E.

1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$. Второй острый угол = $90^\circ - 67^\circ = 23^\circ$. Ответ: $23^\circ$. 2. При пересечении параллельных прямых секущей образуются две группы равных углов (соответственные, накрест лежащие и вертикальные). Один угол = $117^\circ$. Смежный с ним = $180^\circ - 117^\circ = 63^\circ$. Четыре угла будут равны $117^\circ$, и четыре угла будут равны $63^\circ$. Ответ: три угла по $117^\circ$ и четыре угла по $63^\circ$. 3. Пусть $\angle P = x$, тогда $\angle F = 4x$, а $\angle K = 4x + 54^\circ$. Сумма углов треугольника: $x + 4x + (4x + 54^\circ) = 180^\circ$ $9x = 126^\circ$ $x = 14^\circ$ (это $\angle P$) $\angle F = 4 \cdot 14^\circ = 56^\circ$ $\angle K = 56^\circ + 54^\circ = 110^\circ$ Ответ: $14^\circ, 56^\circ, 110^\circ$. 4. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Пусть части углов равны $5x$ и $9x$. $5x + 9x = 140^\circ$ $14x = 140^\circ \Rightarrow x = 10^\circ$ Углы треугольника: $5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$, $9 \cdot 10^\circ = 90^\circ$. Третий угол (смежный с внешним): $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$. Ответ: $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$. 5. В $\triangle DEF$ точка $O$ — центр вписанной окружности. Существует формула: $\angle DOF = 90^\circ + \frac{\angle E}{2}$. $108^\circ = 90^\circ + \frac{\angle E}{2}$ $18^\circ = \frac{\angle E}{2}$ $\angle E = 18^\circ \cdot 2 = 36^\circ$. Ответ: $36^\circ$.