Биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC параллельна стороне AC. Найдите величину угла CAB, если ∠ABC = 28°.

17. Пусть $BK$ — биссектриса внешнего угла при вершине $B$. Обозначим внешний угол как $\angle CBX$ (где $X$ — точка на продолжении стороны $AB$). 1) По условию $BK \parallel AC$. $\angle KBC$ и $\angle ACB$ — накрест лежащие углы при параллельных прямых $BK$ и $AC$ и секущей $BC$, значит $\angle KBC = \angle ACB$. 2) $\angle XBK$ и $\angle BAC$ — соответственные углы при параллельных прямых $BK$ и $AC$ и секущей $AX$, значит $\angle XBK = \angle BAC$. 3) Так как $BK$ — биссектриса, то $\angle XBK = \angle KBC$, следовательно $\angle BAC = \angle ACB$. Треугольник $ABC$ — равнобедренный. 4) Сумма углов в треугольнике $180^{\circ}$. $\angle BAC + \angle ACB + \angle ABC = 180^{\circ} \Rightarrow 2 \cdot \angle CAB + 28^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow 2 \cdot \angle CAB = 152^{\circ} \Rightarrow \angle CAB = 76^{\circ}$. **Ответ: 76**. 18. 1) В $\triangle ABM$ проведена биссектриса $MK$. Значит $\angle AMK = \angle KMB$. 2) По условию $\angle KMP = 90^{\circ}$. Угол $KMP$ состоит из $\angle KMB + \angle BMP = 90^{\circ}$. 3) Угол $AMC$ — развернутый ($180^{\circ}$), так как $M$ лежит на $AC$. $\angle AMK + \angle KMB + \angle BMP + \angle PMC = 180^{\circ}$. 4) Подставим известные равенства: $2 \cdot \angle KMB + \angle BMP + \angle PMC = 180^{\circ}$. Так как $\angle KMB + \angle BMP = 90^{\circ}$, то $90^{\circ} + \angle KMB + \angle PMC = 180^{\circ} \Rightarrow \angle KMB + \angle PMC = 90^{\circ}$. 5) Из $\angle KMB + \angle BMP = 90^{\circ}$ и $\angle KMB + \angle PMC = 90^{\circ}$ следует, что $\angle BMP = \angle PMC$. 6) В $\triangle BVM$ отрезок $MP$ является высотой ($\angle MPV = 90^{\circ}$) и биссектрисой (так как $\angle BMP = \angle PMC$). Значит $\triangle BCM$ — равнобедренный, и $BM = CM = 12$. **Ответ: 12**. 19. 1) $KN$ — серединный перпендикуляр к $BC$. По свойству серединного перпендикуляра любая его точка равноудалена от концов отрезка. Значит $KB = KC$. 2) По условию $BK = 4$, следовательно $KC = 4$. 3) Отрезок $AC$ состоит из $AK + KC$. По условию $AC = 6$. 4) $AK = AC - KC = 6 - 4 = 2$. 5) Найдем отношение $AK : KC = 2 : 4 = 1 : 2$. **Ответ: 1:2**.