Question

Решите уравнение sin 2x = sin(pi/2 + x). Решите неравенство (7x+2)/(x^2-x-42) >= 0.

Accepted Answer

1. Решим уравнение $\sin 2x = \sin \left( \frac{\pi}{2} + x ight)$.
Используем формулу приведения $\sin \left( \frac{\pi}{2} + x ight) = \cos x$ и формулу двойного аргумента $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$2 \sin x \cos x = \cos x$
$2 \sin x \cos x - \cos x = 0$
$\cos x (2 \sin x - 1) = 0$
1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $2 \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n; (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$

2. Решим неравенство $\frac{7x+2}{x^2-x-42} \geq 0$.
Найдём корни знаменателя: $x^2-x-42=0$. По теореме Виета $x_1=7, x_2=-6$. Знаменатель не может быть равен нулю: $x 
eq 7, x 
eq -6$.
Найдём корень числителя: $7x+2=0 \Rightarrow x = -\frac{2}{7}$.
Отметим точки на числовой прямой и определим знаки интервалов:
- на $(7; +\infty)$ знак $+$
- на $(-\frac{2}{7}; 7)$ знак $-$
- на $(-6; -\frac{2}{7}]$ знак $+$
- на $(-\infty; -6)$ знак $-$
Нам нужны промежутки, где выражение $\geq 0$.
Ответ: $x \in (-6; -\frac{2}{7}] \cup (7; +\infty)$

Решите уравнение sin 2x = sin(pi/2 + x). Решите неравенство (7x+2)/(x^2-x-42) >= 0.

Ответ ассистента

Другие решения

Решите уравнение sin 2x = sin(pi/2 + x). Решите неравенство (7x+2)/(x^2-x-42) &gt;= 0.

Ответ ассистента

Другие решения

Решите уравнение sin 2x = sin(pi/2 + x). Решите неравенство (7x+2)/(x^2-x-42) >= 0.