1. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая грань - квадрат. 2. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 2 см и 3 см, а диагональ равна 7 см. Найдите Sбок. 3. Основание прямого параллелепипеда - параллелограмм со сторонами 5 см, 8 см и острым углом 30 градусов. Полная поверхность параллелепипеда равна 170 см2. Найдите его высоту. 4. Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 10 см и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите Sполн.

1. Основание — прямоугольный треугольник. Найдём второй катет $b$ по теореме Пифагора: $b = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см. Периметр основания: $P = 12 + 5 + 13 = 30$ см. Наибольшая грань призмы проходит через гипотенузу (13 см). Так как это квадрат, высота призмы $h = 13$ см. Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = P \cdot h = 30 \cdot 13 = 390$ см$^2$. **Ответ: 390 см$^2$.** 2. Пусть стороны основания $a = 2$ см, $b = 3$ см, диагональ параллелепипеда $D = 7$ см. Найдём высоту $h$ из формулы $D^2 = a^2 + b^2 + h^2$: $7^2 = 2^2 + 3^2 + h^2 \Rightarrow 49 = 4 + 9 + h^2 \Rightarrow h^2 = 36 \Rightarrow h = 6$ см. Периметр основания: $P = 2 \cdot (2 + 3) = 10$ см. $S_{\text{бок}} = P \cdot h = 10 \cdot 6 = 60$ см$^2$. **Ответ: 60 см$^2$.** 3. Площадь основания (параллелограмма): $S_{\text{осн}} = a \cdot b \cdot \sin(30^\circ) = 5 \cdot 8 \cdot 0,5 = 20$ см$^2$. Площадь полной поверхности $S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$. Найдём $S_{\text{бок}} = 170 - 2 \cdot 20 = 130$ см$^2$. Периметр основания: $P = 2 \cdot (5 + 8) = 26$ см. Высота $h = S_{\text{бок}} / P = 130 / 26 = 5$ см. **Ответ: 5 см.** 4. Сторона ромба $a = \sqrt{(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$ см. Площадь основания: $S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$ см$^2$. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $45^\circ$ и опирается на меньшую диагональ ромба (10 см). В прямоугольном треугольнике с углом $45^\circ$ высота $h = d_{\text{меньш}} = 10$ см. $S_{\text{бок}} = P \cdot h = (4 \cdot 13) \cdot 10 = 520$ см$^2$. $S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 120 + 520 = 760$ см$^2$. **Ответ: 760 см$^2$.**