Question

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Отметьте верные утверждения.

Accepted Answer

Для решения задачи проанализируем перпендикулярность указанных плоскостей в кубе:

а) $(ABD) \perp (B_1C_1C)$. Плоскость $(ABD)$ — это нижнее основание куба. Плоскость $(B_1C_1C)$ — это правая боковая грань. В кубе смежные грани перпендикулярны. Верно.

б) $(AA_1C) \perp (BB_1D_1)$. Это диагональные сечения куба. Основаниями этих сечений являются диагонали квадрата $AC$ и $BD$. Так как диагонали квадрата перпендикулярны ($AC \perp BD$), то и соответствующие диагональные плоскости перпендикулярны. Верно.

в) $(DCC_1) \perp (AB_1C_1)$. Плоскость $(DCC_1)$ — это задняя грань. Плоскость $(AB_1C_1)$ проходит через ребро $B_1C_1$. Ребро $B_1C_1$ перпендикулярно задней грани $(DCC_1)$, так как оно перпендикулярно прямым $C_1C$ и $C_1D_1$. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Верно.

г) $(AB_1C_1) \perp (A_1D_1C)$. Эти плоскости также являются диагональными сечениями (наклонными). Проверим их перпендикулярность. Направим оси координат по ребрам куба $AB$, $AD$, $AA_1$.
Вектор нормали к $(AB_1C_1)$ (проходит через $A(0,0,0), B_1(1,0,1), C_1(1,1,1)$): $\vec{n_1} = (0, -1, 1)$.
Вектор нормали к $(A_1D_1C)$ (проходит через $A_1(0,0,1), D_1(0,1,1), C(1,1,0)$): $\vec{n_2} = (1, 0, 1)$.
Скалярное произведение $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\cdot1 + (-1)\cdot0 + 1\cdot1 = 1 
eq 0$. Плоскости не перпендикулярны. Неверно.

Верными являются утверждения а, б, в.

Ответ: 3)

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Отметьте верные утверждения.

Ответ ассистента

Другие решения