В треугольнике ABC угол ACB равен 53°, AD - биссектриса, угол CAD равен 24°. Найдите величину угла ABC.

1. По свойству биссектрисы $\angle CAD = \angle DAB = 24^{\circ}$, значит $\angle A = 24^{\circ} \cdot 2 = 48^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике $180^{\circ}$, поэтому $\angle ABC = 180^{\circ} - (48^{\circ} + 53^{\circ}) = 180^{\circ} - 101^{\circ} = 79^{\circ}$. **Ответ: 79$^{\circ}$**. 2. Пусть одна часть равна $x$. Тогда $1x + 2x + 3x = 180^{\circ}$, $6x = 180^{\circ}$, $x = 30^{\circ}$. Углы треугольника: $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$, $\angle C = 90^{\circ}$. Треугольник $ABC$ прямоугольный. Биссектриса $BM$ делит $\angle B$ на два угла по $30^{\circ}$. В треугольнике $MBC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle MBC = 30^{\circ}$. Катет $MC$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $MC = \frac{1}{2} BM = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$. **Ответ: 6**. 3. В прямоугольном $\triangle AHB$: $\angle ABH = 90^{\circ} - \angle BAH = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ}$. Угол $ABC$ смежный с $\angle ABH$, значит $\angle ABC = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$. В $\triangle ABC$: $\angle BAC = 180^{\circ} - (\angle ABC + \angle BCA) = 180^{\circ} - (110^{\circ} + 30^{\circ}) = 40^{\circ}$. **Ответ: 40$^{\circ}$**. 4. Возможны два случая: 1) Угол $70^{\circ}$ — угол при вершине. Тогда углы при основании: $(180^{\circ} - 70^{\circ}) : 2 = 55^{\circ}$ каждый. 2) Угол $70^{\circ}$ — угол при основании. Тогда второй угол при основании тоже $70^{\circ}$, а угол при вершине: $180^{\circ} - (70^{\circ} + 70^{\circ}) = 40^{\circ}$. **Ответ: 55$^{\circ}$ и 55$^{\circ}$ или 70$^{\circ}$ и 40$^{\circ}$**. 5. Проведем диагональ $AC$. Т.к. $AB=BC$, $\triangle ABC$ равнобедренный, $\angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 44^{\circ}) : 2 = 68^{\circ}$. Аналогично $AD=CD$, $\triangle ADC$ равнобедренный, $\angle DAC = \angle DCA = (180^{\circ} - 128^{\circ}) : 2 = 26^{\circ}$. Тогда $\angle A = \angle BAC + \angle DAC = 68^{\circ} + 26^{\circ} = 94^{\circ}$. **Ответ: 94$^{\circ}$**. 6. В $\triangle ABL$: $\angle BAL = 180^{\circ} - (\angle B + \angle ALB) = 180^{\circ} - (100^{\circ} + 120^{\circ})$. Такого треугольника не существует, так как сумма двух углов уже больше $180^{\circ}$. **Допущение:** Возможно, в условии опечатка в значении углов. Если считать по алгоритму, то $\angle BAL = 180^{\circ} - \angle B - \angle ALB$. Т.к. $AL$ — биссектриса, то $\angle BAC = 2 \cdot \angle BAL$.