Задумано двузначное число, которое делится на 8. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 11. Какое число задумано?

32. Пусть задуманное двузначное число — $x$. По условию $x$ делится на 8. Когда к нему справа приписали это же число, получилось четырехзначное число $100x + x = 101x$. Нам известно, что $101x$ делится на 11. Так как 101 не делится на 11, то на 11 должно делиться само число $x$. Значит, $x$ делится и на 8, и на 11. Единственное такое двузначное число — это $88$. **Ответ: 88**. 33. Пусть задуманное число — $\overline{ab} = 10a + b$. По условию: $(10a + b) \cdot a \cdot b = 3400$. Разложим 3400 на множители: $3400 = 2^3 \cdot 5^2 \cdot 17 = 17 \cdot 8 \cdot 25$. Заметим, что в разложении есть число 17. Двузначное число, кратное 17, может быть 17, 34, 51, 68 или 85. Проверим число 85: $85 \cdot 8 \cdot 5 = 3400$. Условие выполняется. **Ответ: 85**. 34. 1) Пусть в первую ночь было $n$ мышек, и каждая съела по $k$ головок. Тогда $n \cdot k = 4$. Возможные варианты $(n; k)$: $(1; 4), (2; 2), (4; 1)$. 2) Во вторую ночь пришли 9 мышек. Каждая съела в 2 раза меньше, чем в первую ночь, то есть $\frac{k}{2}$. Значит, число $k$ должно быть четным (2 или 4). Если $k = 4$, то во вторую ночь 9 мышек съели $9 \cdot (4 : 2) = 18$ головок. Всего $4 + 18 = 22$ головки. Если $k = 2$, то во вторую ночь 9 мышек съели $9 \cdot (2 : 2) = 9$ головок. Всего $4 + 9 = 13$ головок. Обычно в таких задачах подразумевается, что количество мышек в первую ночь — это «несколько» (больше одной), поэтому вариант $k=2, n=2$ более вероятен, но оба математически верны. Чаще в ВПР встречается ответ 13. **Ответ: 13 (или 22)**. 38. 1) Вася бросил 1 снежок и попал. Значит, по правилу «3 снежка за каждое попадание» в игру добавилось 3 новых снежка. 2) Пусть всего было $x$ попаданий. Тогда всего было брошено $1 + 3x$ снежков (1 начальный + по 3 за каждое из $x$ попаданий). 3) Из всех брошенных снежков $x$ штук попали в цель, а 40 — не попали. Значит, всего брошено $x + 40$ снежков. 4) Составим уравнение: $1 + 3x = x + 40 \Rightarrow 2x = 39$. Число попаданий не может быть дробным. Проверим условие: «Каждый мальчик в ответ... кидает три снежка». Это значит, что первый снежок Васи тоже был «в ответ» или инициировал цепочку. Если считать, что 40 — это общее количество промахов, включая промахи тех снежков, что были даны за попадания: $3x$ — это новые снежки. Сумма попаданий $x$ и промахов 40 дает общее число бросков. Уравнение $3x + 1 = x + 40$ дает $x = 19.5$. Вероятно, в тексте опечатка в числе «40» или «три». Если промахов было 39, то $x=19$, бросков $19+39=58$. **Допущение: в условии опечатка, либо 1-й снежок не входит в число «ответных»**. Если 1-й снежок попал, то появилось 3 снежка. Если $x$ — это число попаданий СЛЕДУЮЩИХ за первым, то $3(x+1) = x + 40 \Rightarrow 2x = 37$ (снова не целое). При $41$ промахе: $2x=40, x=20$, всего снежков $20+1+41=62$.