В треугольнике ABC ∠C = 90°, AB = 26 см, BC = 10 см. Найдите: 1) sin A; 2) tg B.

1. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^{\circ}$, $AB = 26$ см, $BC = 10$ см. Найдите: 1) $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$ 2) По теореме Пифагора $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$ см. $\operatorname{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{10} = 2,4$ Ответ: 1) $\frac{5}{13}$; 2) $2,4$. 2. Найдите катет $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle B = 90^{\circ}$), если $AC = 12$ см, $\cos C = \frac{2}{3}$. $BC = AC \cdot \cos C = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ см. Ответ: 8 см. 3. Найдите значение выражения $\sin^2 61^{\circ} + \cos^2 61^{\circ} - \cos^2 60^{\circ}$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $1 - \cos^2 60^{\circ} = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = 0,75$ Ответ: 0,75. 4. В равнобокой трапеции $FKPE$ $FK = EP = 9$ см, $FE = 20$ см, $KP = 8$ см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла $F$ трапеции. Проведем высоту $KH$ к основанию $FE$. В равнобокой трапеции $FH = \frac{FE - KP}{2} = \frac{20 - 8}{2} = 6$ см. Из $\triangle FKH$ ($\angle H = 90^{\circ}$) по теореме Пифагора: $KH = \sqrt{FK^2 - FH^2} = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ см. $\cos F = \frac{FH}{FK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ $\sin F = \frac{KH}{FK} = \frac{3\sqrt{5}}{9} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ $\operatorname{tg} F = \frac{KH}{FH} = \frac{3\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ $\operatorname{ctg} F = \frac{FH}{KH} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ Ответ: $\sin F = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\cos F = \frac{2}{3}$, $\operatorname{tg} F = \frac{\sqrt{5}}{2}$, $\operatorname{ctg} F = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. 5. Высота $AM$ треугольника $ABC$ делит его сторону $BC$ на отрезки $BM$ и $MC$. Найдите отрезок $MC$, если $AB = 10\sqrt{2}$ см, $AC = 26$ см, $\angle B = 45^{\circ}$. В $\triangle ABM$ ($\angle M = 90^{\circ}$): $AM = AB \cdot \sin B = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10$ см. В $\triangle ACM$ ($\angle M = 90^{\circ}$) по теореме Пифагора: $MC = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$ см. Ответ: 24 см.