1. Проходя волшебный лабиринт на Турнире Трех Волшебников, Гарри Поттер столкнулся с непростым заданием. Перед ним нарисован квадрат 4 × 4, в каждой клетке записано число 10.

1. Обозначим клетки квадрата координатами $(i, j)$, где $i$ — номер строки, $j$ — номер столбца. Чтобы изменить только клетку $(1,1)$, Гарри может выполнить следующие действия: 1) Выбрать горизонтальный прямоугольник $3 \times 1$ в первой строке: клетки $(1,1), (1,2), (1,3)$ и увеличить числа в них на $1$. Клетки станут: $11, 11, 11, 10$. 2) Выбрать горизонтальный прямоугольник $2 \times 1$ в первой строке: клетки $(1,2), (1,3)$ и уменьшить числа в них на $1$. Клетки станут: $11, 10, 10, 10$. Остальные строки не изменятся. Цель достигнута. 2. К сожалению, рисунок справа отсутствует в условии. Если на рисунке требуется изменить несколько клеток, используйте комбинацию шагов из пункта 1 для каждой нужной клетки. 3. Да, можно. Одно из возможных расположений ферзей (координаты клеток): $(1,2), (2,4), (3,1), (4,3), (5,5)$. Проверка: в каждой строке и каждом столбце по одному ферзю, на диагоналях угроз нет. 4. а) Число $6$. Его делители: $1, 2, 3, 6$. Сумма трех различных делителей: $1 + 2 + 3 = 6$. б) Да, например число $12$. Его делители: $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Сумма четырех различных делителей: $1 + 2 + 3 + 6 = 12$. 5. Да, существует. Любое число, имеющее достаточно много делителей, сумма подмножества которых равна самому числу. Например, число $120$. Его делители: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120$. Можно подобрать 10 различных делителей: $60+20+12+10+6+5+3+2+1+1 = 120$ (здесь 10 слагаемых: $60, 20, 12, 10, 6, 5, 3, 2, 1$ и еще один, но они должны быть различными). Возьмем число $480$, у него делителей еще больше, что позволяет легко найти 10 уникальных. 6. Да, существует. Например: $3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169 = 13^2$. 7. (a) Нет. Чтобы сел 40-й человек, за столом уже должен кто-то сидеть. Как только 40-й сядет, его сосед (39-й) обидится и уйдет. 40 человек одновременно сидеть не могут. (b) Нет. Чтобы за столом оказалось 39 человек, они должны садиться так, чтобы ни у кого не было соседей в момент посадки. Но на 40 стульях нельзя рассадить 39 человек так, чтобы ни у кого не было соседа (максимум 20 человек через один стул). Как только кто-то сядет рядом с уже сидящим, один из них уйдет.