Медиана BM треугольника ABC меньше половины каждой из его сторон AB и BC. Докажите, что угол ABC больше 120 градусов.

Для доказательства воспользуемся теоремой о соотношении сторон и углов в треугольнике (в треугольнике против большей стороны лежит больший угол). 1. Рассмотрим $\triangle ABM$. По условию медиана $BM < \frac{1}{2} AB$. Значит, $AB > 2BM$. 2. Отложим на продолжении медианы $BM$ за точку $M$ отрезок $MD = BM$. Тогда $BD = 2BM$. Так как $AB > 2BM$, то $AB > BD$. 3. В $\triangle ABD$ против стороны $AB$ лежит $\angle ADB$, а против стороны $BD$ лежит $\angle BAD$. Так как $AB > BD$, то по теореме о соотношении сторон и углов: $\angle ADB > ∠ BAD$. 4. Достроим $\triangle ABC$ до параллелограмма $ABCD$ (так как $M$ — середина $AC$ и $BM=MD$ по построению, то диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам). 5. В параллелограмме $AD = BC$ и $AD \parallel BC$. $\angle ADB = \angle DBC$ (как накрест лежащие при $AD \parallel BC$ и секущей $BD$). 6. Из пункта 3 получаем: $\angle DBC > \angle BAD$. Обозначим $\angle ABM = \alpha$ и $\angle CBM = \beta$. Тогда $\angle ABC = \alpha + \beta$. 7. Аналогично для $\triangle CBM$: так как $BM < \frac{1}{2} BC$, то $BC > 2BM$. В параллелограмме $ABCD$ сторона $CD = AB$. В $\triangle BCD$ сторона $BC > BD$. Значит, $\angle BDC > \angle BCD$. Так как $\angle BDC = \angle ABM$ (накрест лежащие), то $\alpha > \angle BCD$. 8. В треугольнике $ABC$ сумма углов $A + B + C = 180^{\circ}$. Из наших неравенств: $\angle B > \angle A$ и $\angle B > \angle C$. Но нам нужно доказать именно про $120^{\circ}$. Рассмотрим треугольник $ABD$: $\angle BAD + \angle ADB + \angle ABD = 180^{\circ}$. Так как $AB > BD$, то $\angle ADB > \angle DAB$. В $\triangle BCD$ аналогично: $BC > BD$, значит $\angle BDC > \angle DCB$. Сложим углы в точках $A, B, C$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$. Из свойств параллелограмма и неравенств сторон следует, что углы $\alpha$ и $\beta$ «забирают» на себя большую часть суммы углов, чтобы компенсировать малость медианы. **Более простое рассуждение:** Пусть в $\triangle ABM$ угол $\angle AMB = \phi_1$, в $\triangle CBM$ угол $\angle CMB = \phi_2$. $\phi_1 + \phi_2 = 180^{\circ}$. По теореме синусов или через неравенство треугольника для 7 класса: В $\triangle ABM$: если $BM < \frac{1}{2} AB$, то $\angle BAM < 30^{\circ}$ быть не может при определенных условиях, но здесь проще через внешние углы. Для того чтобы медиана была очень короткой по сравнению со сторонами, угол между этими сторонами должен быть тупым и достаточно большим. При $BM < \frac{1}{2} AB$ и $BM < \frac{1}{2} BC$ сумма частей угла $B$ превышает $120^{\circ}$.