37. Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 24. Радиус описанной окружности равен 13. Найдите высоту трапеции.

37. Дано: $a = 10$, $b = 24$ — основания равнобедренной трапеции, $R = 13$ — радиус описанной окружности. Найти высоту $h$. 1. Пусть $O$ — центр описанной окружности. Расстояние от центра до основания $a$ обозначим $d_1$, до основания $b$ — $d_2$. Эти расстояния находятся по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках, образованных радиусом, половиной основания и перпендикуляром из центра к основанию: $d_1 = \sqrt{R^2 - (a/2)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ $d_2 = \sqrt{R^2 - (b/2)^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ 2. Высота трапеции $h$ может быть равна либо сумме, либо разности этих расстояний, в зависимости от того, лежит ли центр окружности внутри трапеции или вне её. В равнобедренной трапеции, если центр окружности лежит внутри, то $h = d_1 + d_2 = 12 + 5 = 17$. Если вне (оба основания по одну сторону от центра), то $h = d_1 - d_2 = 12 - 5 = 7$. По чертежу в задачнике видно, что центр окружности находится внутри трапеции. **Ответ: 17**