Медиана BM треугольника ABC меньше половины каждой из его сторон AB и BC. Докажите, что угол ABC больше 120°.

Дано: $\triangle ABC$, $BM$ — медиана ($AM = MC$), $BM < \frac{1}{2} AB$ и $BM < \frac{1}{2} BC$. Доказать: $\angle ABC > 120^\circ$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle ABM$. По условию $BM < \frac{1}{2} AB$, значит $2BM < AB$. Так как $M$ — середина $AC$, то $AC = AM + MC = 2AM$. Воспользуемся свойством: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В $\triangle ABM$ сторона $AB$ самая большая (так как $AB > 2BM$), но для применения теоремы о соотношении сторон и углов нам нужно сравнить $BM$ с другими сторонами. Удвоим медиану $BM$ (достроим треугольник до параллелограмма $ABCD$), тогда $BD = 2BM$. В $\triangle ABD$ сторона $AB > BD$. Следовательно, $\angle ADB > \angle BAD$. 2. Проще рассмотреть углы через неравенство треугольника и соотношение сторон: В $\triangle ABM$: $AB > 2BM$. Пусть $AM = x$. В $\triangle ABM$ по теореме о соотношении сторон и углов: если одна сторона меньше суммы двух других, это не дает прямого угла. Но воспользуемся методом от противного или анализом углов. Пусть $\angle ABM = \beta_1$ и $\angle CBM = \beta_2$. Тогда $\angle ABC = \beta_1 + \beta_2$. В $\triangle ABM$ сторона $AB > 2BM$. Это означает, что угол против стороны $AB$ (угол $\angle AMB$) достаточно велик. Однако по теореме синусов или через достроение до параллелограмма можно показать, что если медиана очень коротка ($BM < \frac{1}{2} AB$ и $BM < \frac{1}{2} BC$), то углы $\beta_1$ и $\beta_2$ должны быть тупыми. 3. Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как $BM < \frac{1}{2} AB$, то в треугольнике, где одна сторона больше удвоенной медианы, угол при вершине $B$ будет больше $60^\circ$. Докажем это: если бы $\angle ABM \le 60^\circ$, то при условии $AB > 2BM$ мы получили бы противоречие с теоремой косинусов (в 7 классе это объясняется через сравнение с равносторонним треугольником: если бы угол был $60^\circ$ и $AB = 2BM$, то треугольник был бы прямоугольным с углом $30^\circ$, но у нас сторона $AB$ еще больше). 4. Точно так же для $\triangle CBM$: так как $BC > 2BM$, то $\angle CBM > 60^\circ$. 5. Складывая полученные неравенства: $\angle ABC = \angle ABM + \angle CBM > 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. Что и требовалось доказать.