Решите задачи на тему 'Касательная к окружности. Свойство касательной. Свойство отрезков касательной'.

### Задача 1 **Дано:** Окр.($O$; $R$), $KM$ — касательная, $M$ — точка касания. $K$ и $P$ лежат по разные стороны от $M$. $\angle MOK = \angle MOP$, $\angle OPM = 48^{\circ}$. **Найти:** $\angle OKM$. **Решение:** 1. Радиус $OM$ перпендикулярен касательной $KP$ в точке касания $M$ (свойство касательной), значит $\angle OMK = \angle OMP = 90^{\circ}$. 2. Рассмотрим $\triangle OMK$ и $\triangle OMP$: - $OM$ — общая сторона; - $\angle OMK = \angle OMP = 90^{\circ}$; - $\angle MOK = \angle MOP$ (по условию). 3. $\triangle OMK = \triangle OMP$ по катету и прилежащему острому углу. 4. Из равенства треугольников следует, что $\angle OKM = \angle OPM = 48^{\circ}$. **Ответ:** $48^{\circ}$. --- ### Задача 2 **Дано:** Окр.($O$; $R$), $BE$ — касательная, $B$ — точка касания. $\angle AOB = 142^{\circ}$. **Найти:** $\angle PBE$ (на рисунке $P$ — точка на прямой $BE$, образующая угол с хордой или радиусом). **Решение:** 1. Радиус $OB$ перпендикулярен касательной $BE$ в точке касания $B$ (свойство касательной), значит $\angle OBE = 90^{\circ}$. 2. Судя по чертежу к задаче 2 (верхний рисунок), точка $P$ лежит на продолжении касательной. Угол $\angle PBE$ является развернутым или смежным. 3. Если требуется найти угол между касательной $BE$ и радиусом $OB$, то $\angle OBE = 90^{\circ}$. 4. Если $A$ — точка на окружности и $AB$ — хорда, то в $\triangle AOB$ ($OA=OB=R$): $\angle OBA = (180^{\circ} - 142^{\circ}) : 2 = 19^{\circ}$. Тогда угол между касательной $BE$ и хордой $BA$ равен $\angle EBA = 90^{\circ} - 19^{\circ} = 71^{\circ}$. *Примечание: Из-за качества фото точное положение точки P неясно. Если P — точка на прямой касательной с другой стороны от B, то $\angle PBE = 180^{\circ} - 71^{\circ} = 109^{\circ}$ или $90^{\circ}$. Обычно ищется острый угол между радиусом и касательной.* **Ответ:** $90^{\circ}$ (между радиусом и касательной). --- ### Задача 3 **Дано:** Окр.($O$; $R$); $MB$, $MC$, $DE$ — касательные. $B, C, F$ — точки касания. $P_{\triangle MDE} = 24$ см. **Найти:** $MC$. **Решение:** 1. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки: - Из точки $M$: $MB = MC$. - Из точки $D$: $DB = DF$. - Из точки $E$: $EF = EC$. 2. Периметр $\triangle MDE$: $P = MD + DE + ME = MD + (DF + FE) + ME$. 3. Заменим отрезки на равные им: $P = MD + DB + EC + ME$. 4. Заметим, что $MD + DB = MB$, а $ME + EC = MC$. Тогда $P = MB + MC$. 5. Так как $MB = MC$, то $P = 2 \cdot MC$. 6. $MC = P : 2 = 24 : 2 = 12$ см. **Ответ:** $12$ см.