Решите задачи варианта 2 по теме Параллельные прямые и сумма углов треугольника.

1. Пусть внутренние односторонние углы равны $2x$ и $3x$. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180^{\circ}$. $2x + 3x = 180^{\circ} \Rightarrow 5x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 36^{\circ}$. Углы равны $2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ}$ и $3 \cdot 36^{\circ} = 108^{\circ}$. При пересечении параллельных прямых секущей образуются две группы равных углов (накрест лежащие и вертикальные). **Ответ: четыре угла по $72^{\circ}$ и четыре угла по $108^{\circ}$.** 2. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Третий угол: $180^{\circ} - (38^{\circ} + 62^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$. **Ответ: $80^{\circ}$.** 3. В четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$, значит $ABCD$ — параллелограмм. У параллелограмма противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$. Биссектрисы равных углов делят их на равные части. Так как $\angle A = \angle C$, то $\frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle C$. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны. 4. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Гипотенуза $MP$ является наибольшей стороной. Если $\angle O = 30^{\circ}$, то катет $MP$ не может быть против него (так как $MP$ — гипотенуза). Вероятно, $\angle M = 30^{\circ}$ или $\angle P = 30^{\circ}$. Если $\angle P = 30^{\circ}$, то $MO = \frac{1}{2} MP$. Если гипотенуза $MP = 18$, то катет $MO = 18 : 2 = 9$. **Ответ: 9.** 5. Пусть гипотенуза $c$, меньший катет $a$. Катет против $30^{\circ}$ равен $a = 0,5c$. По условию $c - a = 18,3$. Подставим: $c - 0,5c = 18,3 \Rightarrow 0,5c = 18,3 \Rightarrow c = 36,6$. **Ответ: 36,6 см.** 6. Рассмотрим $\triangle MFN$. Биссектриса $NF$ делит $\angle N$ пополам: $\angle MNF = 50^{\circ} : 2 = 25^{\circ}$. Сумма углов в $\triangle MFN$ равна $180^{\circ}$. $\angle MKN = 180^{\circ} - (\angle MNF + \angle MFN) = 180^{\circ} - (25^{\circ} + 74^{\circ}) = 180^{\circ} - 99^{\circ} = 81^{\circ}$. **Ответ: $81^{\circ}$.** 7. Найдем третий угол $\triangle CDE$: $\angle E = 180^{\circ} - (55^{\circ} + 110^{\circ}) = 180^{\circ} - 165^{\circ} = 15^{\circ}$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Углы: $\angle D (110^{\circ}) > \angle C (55^{\circ}) > \angle E (15^{\circ})$. Следовательно, стороны: $CE > DE > CD$. Проверим варианты: 1) $CE < CD$ (ложно); 2) $CE < DE$ (ложно); 3) $DE < CD$ (ложно, так как $55^{\circ} > 15^{\circ} \Rightarrow DE > CD$); 4) $CD < DE$ (истинно, так как $\angle E < \angle C$). **Ответ: 4) $CD < DE$.**