Доказать свойство медиан треугольника: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Для доказательства теоремы о точке пересечения медиан (центроиде) воспользуемся методом средних линий. **Дано:** $\triangle ABC$, $AA_1$ и $BB_1$ — медианы, $O$ — точка их пересечения. **Доказать:** $AO:OA_1 = 2:1$ и $BO:OB_1 = 2:1$. **Доказательство:** 1. Проведём среднюю линию $A_1B_1$. По свойству средней линии треугольника: $A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$. 2. Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB_1$: - $\angle AOB = \angle A_1OB_1$ (как вертикальные); - $\angle OAB = \angle OA_1B_1$ (как накрест лежащие при $AB \parallel A_1B_1$ и секущей $AA_1$). 3. Значит, $\triangle AOB \sim \triangle A_1OB_1$ по двум углам. 4. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $\frac{AO}{OA_1} = \frac{BO}{OB_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$. 5. Так как $AB = 2A_1B_1$, то и отношение сторон равно $2:1$: $\frac{AO}{OA_1} = \frac{2}{1}$ и $\frac{BO}{OB_1} = \frac{2}{1}$. Аналогично доказывается для третьей медианы через её пересечение с одной из данных. Теорема доказана.