На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла BAC.

1. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. По условию $AB = AC = AD$, а $AD$ — биссектриса угла $BAC$, значит $\angle BAD = \angle CAD$. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle ACD$ по двум сторонам и углу между ними. 2. Из равенства треугольников следует, что $BD = CD$. Значит, $\triangle BDC$ — равнобедренный с основанием $BC$. Также $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ — равнобедренные ($AB=AD$ и $AC=AD$). 3. Пусть $\angle BAD = \angle CAD = \alpha$. Тогда $\angle BAC = 2\alpha$. 4. В равнобедренном $\triangle ABD$ углы при основании $BD$ равны: $\angle ADB = \angle ABD = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. 5. Аналогично в $\triangle ACD$: $\angle ADC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. 6. Полный угол вокруг точки $D$ состоит из $\angle ADB$, $\angle ADC$ и $\angle BDC$. $360^\circ = \angle ADB + \angle ADC + \angle BDC$ $360^\circ = (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) + (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) + 160^\circ$ $360^\circ = 180^\circ - \alpha + 160^\circ$ $360^\circ = 340^\circ - \alpha$ $\alpha = 340^\circ - 360^\circ = -20^\circ$ (точка $D$ внутри угла). 7. Если точка $D$ лежит внутри треугольника $ABC$, то $\angle BDC = \angle ADB + \angle ADC$ (неверно по условию, так как $160 > 90+90$ при острых углах). Верный чертеж подразумевает, что $A$ — центр окружности, проходящей через $B, C, D$. Тогда $\angle BAC$ — центральный угол, а $\angle BDC$ — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $BC$ (или дополняющую её). По свойству центрального и вписанного углов: если $D$ и $A$ по разные стороны от $BC$, то $\angle BDC = 180^\circ - \frac{1}{2}\angle BAC$. $160^\circ = 180^\circ - \frac{1}{2}\angle BAC$ $\frac{1}{2}\angle BAC = 20^\circ$ $\angle BAC = 40^\circ$. Ответ: 40^\circ