а) Высота CH прямоугольного треугольника ABC, проведённая к гипотенузе, равна 7 см, а угол C равен 60. Найдите AB.

а) В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) высота $CH$ проведена к гипотенузе. В $\triangle ACH$ ($\angle H = 90^\circ$): $\angle A = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет $CH$, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $AC = 2 \cdot CH = 2 \cdot 7 = 14$ см. В $\triangle ABC$: катет $AC$ лежит против $\angle B = 30^\circ$, значит $AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 14 = 28$ см. **Ответ: 28 см.** б) Биссектриса $CD$ делит прямой угол: $\angle ACD = \angle DCB = 45^\circ$. В $\triangle BCD$: $\angle BDC = 120^\circ$, тогда $\angle CBD = 180^\circ - (120^\circ + 45^\circ) = 15^\circ$. В $\triangle ABC$: $\angle A = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$. По теореме синусов в $\triangle BCD$: $\frac{BC}{\sin 120^\circ} = ?rac{8}{\sin 15^\circ}$. В $\triangle ABC$: $AB = \frac{BC}{\cos 15^\circ}$. Используя тригонометрические значения: $BC = \frac{8 \cdot \sin 120^\circ}{\sin 15^\circ}$, тогда $AB = \frac{8 \cdot \sqrt{3}/2}{\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2} \sin 30^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{1/4} = 16\sqrt{3}$ см. **Ответ: $16\sqrt{3}$ см.** в) В $\triangle BDC$ ($\angle D = 90^\circ$): так как $BC = 2BD$, то $\angle BCD = 30^\circ$. Тогда $\angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$): $\angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. В $\triangle ADC$ ($\angle D = 90^\circ$): катет $CD$ лежит против $\angle A = 30^\circ$, значит $AC = 2CD$. Также $AD = AC \cdot \cos 30^\circ = 2CD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = CD\sqrt{3}$. Из $\triangle BDC$: $CD = BD\sqrt{3}$. Тогда $AD = (BD\sqrt{3})\cdot\sqrt{3} = 3BD$. Что и требовалось доказать. г) В равностороннем $\triangle ABC$ сторона $a$. Расстояние от середины $BC$ до $AB$ — это высота $h$ прямоугольного $\triangle$ с гипотенузой $a/2$ и углом $60^\circ$. $7 = \frac{a}{2} \cdot \sin 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{4}$, откуда $a = \frac{28}{\sqrt{3}}$. Расстояние от $A$ до $BC$ — это высота равностороннего $\triangle$: $H = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{28}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14$ см. **Ответ: 14 см.** д) Пусть гипотенуза $c$, катет $a$ лежит против $30^\circ$, тогда $a = c/2$. Медиана к гипотенузе $m = c/2$. Расстояние от середины гипотенузы до катета — это средняя линия $\triangle$, она равна половине другого катета $b/2$. Задача утверждает равенство $c/2 = b/2$ или $c/2 = a/2$. Если медиана равна катету $a$, то $c/2 = a$, что верно по свойству угла $30^\circ$. Доказано.