Игорь перемножил несколько цифр и получил 2520, а Илья посчитал сумму этих же цифр и получил 27. С какими цифрами ребята проделали эти действия? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Для решения задачи разложим произведение чисел на простые множители: $2520 = 252 \cdot 10 = 2 \cdot 126 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 63 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$. Так как числа — это цифры (от 1 до 9), произведение которых 2520, а сумма 27, нам нужно сгруппировать простые множители так, чтобы получить набор цифр. Заметим, что цифра 7 и цифра 5 обязательно входят в набор (так как 7 и 5 — простые числа, а $7 \cdot 2 = 14$ уже не цифра). Оставшиеся множители: $2, 2, 2, 3, 3$. Их произведение $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 72$. Сумма уже известных цифр: $7 + 5 = 12$. До нужной суммы 27 не хватает: $27 - 12 = 15$. Рассмотрим варианты группировки множителей $2, 2, 2, 3, 3$, чтобы в сумме они давали 15: 1. $8$ ($2 \cdot 2 \cdot 2$) и $9$ ($3 \cdot 3$). Сумма: $8 + 9 = 17$ (много). 2. $9$ ($3 \cdot 3$), $4$ ($2 \cdot 2$) и $2$. Сумма: $9 + 4 + 2 = 15$. Подходит. Набор цифр: $9, 7, 5, 4, 2$. Проверка: $9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 = 2520$; $9 + 7 + 5 + 4 + 2 = 27$. 3. $6$ ($2 \cdot 3$), $6$ ($2 \cdot 3$) и $2$. Сумма: $6 + 6 + 2 = 14$. Чтобы получить 15, добавим единицу (она не меняет произведение). Сумма: $6 + 6 + 2 + 1 = 15$. Подходит. Набор цифр: $7, 6, 6, 5, 2, 1$. Проверка: $7 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 1 = 2520$; $7 + 6 + 6 + 5 + 2 + 1 = 27$. 4. $8$ ($2 \cdot 2 \cdot 2$), $6$ ($2 \cdot 3$) и $3$. Сумма: $8 + 6 + 3 = 17$ (много). 5. $4$ ($2 \cdot 2$), $3, 3, 2$. Сумма: $4 + 3 + 3 + 2 = 12$. До 15 не хватает 3. Добавим три единицы. Сумма: $4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 15$. Подходит. Набор цифр: $7, 5, 4, 3, 3, 2, 1, 1, 1$. Проверка: $7 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 2520$; сумма 27. 6. $6, 4, 3, 2$. Сумма: $6 + 4 + 3 + 2 = 15$. Подходит. Набор цифр: $7, 6, 5, 4, 3, 2$. Проверка: $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 2520$; сумма 27. **Ответ:** {2, 4, 5, 7, 9}; {1, 2, 5, 6, 6, 7}; {2, 3, 4, 5, 6, 7}; {1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 7}.