В треугольнике ABC AB < BC < AC. Найдите углы A, B, C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой 30 градусов.

1. В треугольнике сумма углов всегда равна $180^{\circ}$. По условию один угол $90^{\circ}$, второй $30^{\circ}$. Третий угол: $180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Так как $AB < BC < AC$, то напротив самой большой стороны $AC$ лежит самый большой угол $\angle B = 90^{\circ}$. Напротив самой маленькой стороны $AB$ лежит самый маленький угол $\angle C = 30^{\circ}$. Оставшийся угол $\angle A = 60^{\circ}$. Ответ: $\angle A = 60^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}, \angle C = 30^{\circ}$. 2. Пусть $\angle B = x$, тогда $\angle C = x + 40^{\circ}$. Так как $\angle A = 90^{\circ}$, то $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. $x + (x + 40^{\circ}) = 90^{\circ}$ $2x = 50^{\circ} \Rightarrow x = 25^{\circ}$ (это $\angle B$), $\angle C = 25^{\circ} + 40^{\circ} = 65^{\circ}$. Ответ: $\angle B = 25^{\circ}, \angle C = 65^{\circ}$. 3. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}, \angle A = 70^{\circ}$. Тогда $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 70^{\circ}) = 20^{\circ}$. Биссектриса $CD$ делит прямой угол $C$ пополам: $\angle BCD = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$. В $\triangle BCD$: $\angle B = 20^{\circ}, \angle BCD = 45^{\circ}$. $\angle BDC = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 45^{\circ}) = 115^{\circ}$. Ответ: $20^{\circ}, 45^{\circ}, 115^{\circ}$. 4. В равнобедренном треугольнике две стороны равны (боковые). Возможны два случая: Случай 1: Основание $x$, боковая сторона $x + 13$. $x + 2(x + 13) = 50 \Rightarrow 3x + 26 = 50 \Rightarrow 3x = 24 \Rightarrow x = 8$. Стороны: 8 см, 21 см, 21 см (неравенство треугольника $21+21>8$ верно). Случай 2: Боковая сторона $x$, основание $x + 13$. $2x + (x + 13) = 50 \Rightarrow 3x = 37 \Rightarrow x = 12\frac{1}{3}$. Стороны: $12\frac{1}{3}$ см, $12\frac{1}{3}$ см, $25\frac{1}{3}$ см (неравенство $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} > 25\frac{1}{3}$ ложно: $24\frac{2}{3} < 25\frac{1}{3}$), такой треугольник не существует. Ответ: 8 см, 21 см, 21 см.