В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла A, если DB = 6, а BC = 12.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$ ($∠D = 90^\circ$ так как $CD$ — высота). В нём гипотенуза $BC = 12$, катет $DB = 6$. Так как катет в два раза меньше гипотенузы ($6 = 12 / 2$), то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$. Значит, $∠BCD = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $∠B = 90^\circ - ∠BCD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Тогда $∠A = 90^\circ - ∠B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. **Ответ: 30°** 2. Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, $∠A = ∠C = (180^\circ - 76^\circ) / 2 = 52^\circ$. Биссектрисы делят углы пополам: $∠MAC = ∠A / 2 = 26^\circ$, $∠MCA = ∠C / 2 = 26^\circ$. В треугольнике $AMC$ $∠AMC = 180^\circ - (∠MAC + ∠MCA) = 180^\circ - (26^\circ + 26^\circ) = 128^\circ$. **Ответ: 128°** 3. В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны: $∠A = ∠C = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. Проведём высоту $AH$ к прямой $BC$ (так как $∠B$ тупой, высота упадёт на продолжение стороны). В прямоугольном треугольнике $AHC$ ($∠H = 90^\circ$) катет $AH = 7$ лежит против $∠C = 30^\circ$. Следовательно, гипотенуза $AC$ в два раза больше катета: $AC = 7 \cdot 2 = 14$. **Ответ: 14** 4. В треугольнике $ABC$ $∠ABC = 180^\circ - (60^\circ + 50^\circ) = 70^\circ$. Смежный с ним $∠CBD = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. Треугольник $BCD$ равнобедренный ($BC = BD$), значит $∠BCD = ∠BDC = (180^\circ - 110^\circ) / 2 = 35^\circ$. **Ответ: 35°** 5. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$ углы при основании равны: $∠B = ∠C = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. Проведём высоту $BK$ к прямой $AC$. В прямоугольном треугольнике $BKC$ ($∠K = 90^\circ$) катет $BK = 13$ лежит против $∠C = 30^\circ$. Значит, гипотенуза $BC = 13 \cdot 2 = 26$. **Ответ: 26**