Дано: ABCD — прямоугольник. Прямая MB перпендикулярна плоскости ABC. Доказать перпендикулярность плоскостей AMB и MCB.

1. **Доказательство перпендикулярности плоскостей $AMB$ и $MCB$:** 1) По условию $MB \perp (ABC)$, следовательно, прямая $MB$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $(ABC)$, значит $MB \perp BC$. 2) Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $BC \perp AB$. 3) Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $MB$ и $AB$ плоскости $(AMB)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $BC \perp (AMB)$. 4) Так как плоскость $(MCB)$ проходит через прямую $BC$, которая перпендикулярна плоскости $(AMB)$, то по признаку перпендикулярности плоскостей $(MCB) \perp (AMB)$. 2. **Доказательство перпендикулярности плоскостей $AMC$ и $DMB$:** На чертеже отмечено, что $MA=MC$ (треугольник $AMC$ равнобедренный) и $DA=DC$ (треугольник $ADC$ равнобедренный). 1) В равнобедренном $\triangle AMC$ медиана $MO$ является высотой, значит $MO \perp AC$. 2) В равнобедренном $\triangle ADC$ медиана $DO$ является высотой, значит $DO \perp AC$. 3) Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $MO$ и $DO$ плоскости $(DMB)$. Следовательно, $AC \perp (DMB)$. 4) Так как плоскость $(AMC)$ проходит через прямую $AC$, перпендикулярную плоскости $(DMB)$, то $(AMC) \perp (DMB)$. 3. **Доказательство перпендикулярности плоскостей:** 1) **$AMC$ и $ABC$:** Так как $ABCD$ — квадрат, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и $AC \perp BD$. Если $MO$ — высота пирамиды ($MO \perp (ABC)$), то любая плоскость, проходящая через $MO$ (в том числе $AMC$), перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. 2) **$AMC$ и $BMD$:** Т.к. $AC \perp BD$ (свойство квадрата) и $AC \perp MO$ (т.к. $MO$ — высота), то $AC \perp (BMD)$. Плоскость $(AMC)$ проходит через $AC$, значит $(AMC) \perp (BMD)$. 4. **Доказательство перпендикулярности плоскостей $AMD$ и $ABC$:** На чертеже отмечено: $MA=MD$ и $BA=BD$. 1) Пусть $K$ — середина $AD$. Тогда в равнобедренном $\triangle MAD$ медиана $MK \perp AD$, а в равнобедренном $\triangle BAD$ медиана $BK \perp AD$. 2) Угол $\angle MKB$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $(AMD)$ и $(ABC)$. Если по условию (чертежу) $MK \perp BK$ или точка $M$ проектируется в точку на прямой $BK$, то плоскости перпендикулярны. Обычно в таких задачах доказывается, что высота из $M$ падает на прямую $BK$.