Доказать перпендикулярность плоскостей в предложенных задачах на изображениях.

1. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC \perp AB$. Так как $MB \perp (ABC)$, то $MB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, значит $MB \perp BC$. Получаем, что прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $MB$ плоскости $AMB$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $BC \perp (AMB)$. Так как плоскость $MCB$ проходит через прямую $BC$, которая перпендикулярна плоскости $AMB$, то $(MCB) \perp (AMB)$ по признаку перпендикулярности плоскостей. 2. Доказать перпендикулярность $(AMC)$ и $(DMB)$. В основании квадрат $ABCD$, его диагонали $AC \perp BD$. Так как $M$ проецируется в точку $O$ (центр квадрата), то $MO \perp (ABC)$, следовательно $MO \perp AC$. Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $MO$ плоскости $DMB$. Значит, $AC \perp (DMB)$. Так как плоскость $AMC$ проходит через прямую $AC$, то $(AMC) \perp (DMB)$. 3. В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом ($AC \perp BD$). Отрезок $MC$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, значит $MC \perp BD$. Прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $MC$ плоскости $AMC$. Следовательно, $BD \perp (AMC)$. Так как плоскость $DMB$ проходит через прямую $BD$, то $(DMB) \perp (AMC)$. 4. Дано: $MA=MC$ и $MB=MD$. Это значит, что треугольники $AMC$ и $BMD$ равнобедренные. Их медианы $MO$ к общим основаниям (диагоналям квадрата) являются высотами, то есть $MO \perp AC$ и $MO \perp BD$. Отсюда $MO \perp (ABC)$. Так как прямая $MO$ лежит в плоскости $AMD$, а плоскость $ABC$ перпендикулярна этой прямой в точке $O$, то по признаку перпендикулярности плоскостей $(AMD) \perp (ABC)$, при условии, что точка $O$ лежит на прямой $AD$ (что требует уточнения расположения точек). Если $M$ проектируется в центр основания, то любая плоскость через высоту $MO$ перпендикулярна основанию.