Вычислить интегралы и найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямыми.

### Вычислить интегралы: 1) $\int\limits_{1}^{2} 3x^3 dx = \left. \frac{3x^4}{4} \right|_1^2 = \frac{3 \cdot 2^4}{4} - \frac{3 \cdot 1^4}{4} = 12 - 0,75 = 11,25$ 2) $\int\limits_{2}^{4} \frac{dx}{x^2} = \left. -\frac{1}{x} \right|_2^4 = -\frac{1}{4} - \left( -\frac{1}{2} \right) = -0,25 + 0,5 = 0,25$ 3) $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \left. \sin x \right|_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$ 4) $\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin 2x dx = \left. -\frac{1}{2} \cos 2x \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\frac{1}{2} (\cos 2\pi - \cos \pi) = -\frac{1}{2} (1 - (-1)) = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$ ### Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) **Параболой $y = x^2 + x - 6$ и осью $Ox$:** Найдем точки пересечения с осью $Ox$ ($y=0$): $x^2 + x - 6 = 0$ $D = 1^2 - 4 \cdot (-6) = 25$ $x_1 = \frac{-1-5}{2} = -3$; $x_2 = \frac{-1+5}{2} = 2$ На интервале $(-3; 2)$ парабола ветвями вверх лежит ниже оси $Ox$, поэтому площадь: $S = | \int\limits_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) dx | = | \left. (\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x) \right|_{-3}^{2} | = | (\frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 12) - (\frac{-27}{3} + \frac{9}{2} + 18) | = | (2\frac{2}{3} - 10) - (-9 + 4,5 + 18) | = | -7\frac{1}{3} - 13,5 | = |-20\frac{5}{6}| = 20\frac{5}{6}$ 2) **Графиками функций $y = x^2 + 1$ и $y = 10$:** Найдем точки пересечения: $x^2 + 1 = 10 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 3$ На интервале $(-3; 3)$ прямая $y=10$ выше параболы: $S = \int\limits_{-3}^{3} (10 - (x^2 + 1)) dx = \int\limits_{-3}^{3} (9 - x^2) dx = \left. (9x - \frac{x^3}{3}) \right|_{-3}^{3} = (9 \cdot 3 - \frac{27}{3}) - (9 \cdot (-3) - \frac{-27}{3}) = (27 - 9) - (-27 + 9) = 18 - (-18) = 36$ **Ответ: 1) 11,25; 2) 0,25; 3) 1; 4) -1. Площади: 1) 20\frac{5}{6}; 2) 36.**