Решите уравнение sin x + √3 cos x = 1

Question

Вопрос:

Решите уравнение sin x + √3 cos x = 1

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения уравнения $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1$ используем метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$: $\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{1}{2}$ Заметим, что $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда: $\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ По формуле синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ получаем: $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ $x + \frac{\pi}{3} = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x + \frac{\pi}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$ $x = -\frac{\pi}{3} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$**

Решите уравнение sin x + √3 cos x = 1

Ответ ассистента

Другие решения