Решите тригонометрические уравнения: а) 5 sin² x - 14 sin x cos x - 3 cos² x = 2; б) 3 sin² x - sin x cos x = 2; в) 2 cos² x - sin x cos x + 5 sin² x = 3; г) 4 sin² x - 2 sin x cos x = 3.

Это однородные тригонометрические уравнения второй степени. Для решения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и представим число в правой части как $n \cdot (\sin^2 x + \cos^2 x)$. Затем разделим обе части на $\cos^2 x$ (при условии $\cos x \neq 0$) и решим полученное квадратное уравнение относительно $\text{tg } x$. а) $5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$ $3 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 5 \cos^2 x = 0$ | $: \cos^2 x$ $3 \text{tg}^2 x - 14 \text{tg } x - 5 = 0$ Пусть $t = \text{tg } x$, тогда $3t^2 - 14t - 5 = 0$. $D = 196 + 60 = 256 = 16^2$. $t_1 = \frac{14+16}{6} = 5$; $t_2 = \frac{14-16}{6} = -\frac{1}{3}$. 1) $\text{tg } x = 5 \Rightarrow x = \text{arctg } 5 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg } x = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = -\text{arctg } \frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $\text{arctg } 5 + \pi k, -\text{arctg } \frac{1}{3} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$. б) $3 \sin^2 x - \sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$ $\sin^2 x - \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0$ | $: \cos^2 x$ $\text{tg}^2 x - \text{tg } x - 2 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 2, t_2 = -1$. 1) $\text{tg } x = 2 \Rightarrow x = \text{arctg } 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg } x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $\text{arctg } 2 + \pi k, -\frac{\pi}{4} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$. в) $2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$ $2 \sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$ | $: \cos^2 x$ $2 \text{tg}^2 x - \text{tg } x - 1 = 0$ $t_1 = 1, t_2 = -0.5$. 1) $\text{tg } x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg } x = -0.5 \Rightarrow x = -\text{arctg } 0.5 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $\frac{\pi}{4} + \pi k, -\text{arctg } 0.5 + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$. г) $4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$ $\sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0$ | $: \cos^2 x$ $\text{tg}^2 x - 2 \text{tg } x - 3 = 0$ $t_1 = 3, t_2 = -1$. 1) $\text{tg } x = 3 \Rightarrow x = \text{arctg } 3 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg } x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $\text{arctg } 3 + \pi k, -\frac{\pi}{4} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.