Подготовка к контрольной работе. 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) Углы при основании: $38^{\circ}$ и $38^{\circ}$. 2) Угол при вершине: $180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. **Ответ: $104^{\circ}$**. 2. Рассмотрим рисунок 53: 1) Угол $\angle MKD = 73^{\circ}$, а смежный с ним $\angle DKN = 180^{\circ} - 73^{\circ} = 107^{\circ}$. Заметим, что $\angle KDA = 107^{\circ}$. Так как накрест лежащие углы равны ($\angle DKN = \angle KDA = 107^{\circ}$), то прямые $MN$ и $AC$ параллельны ($MN \parallel AC$). 2) При $MN \parallel AC$ углы $\angle CFN$ и $\angle FCA$ являются накрест лежащими при секущей $FC$. Следовательно, $\angle CFN = \angle FCA = 44^{\circ}$. **Ответ: $44^{\circ}$**. 3. Рассмотрим рисунок 54: 1) В $\triangle ABC$: $\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 84^{\circ}$. 2) Угол $\angle BCF$ является смежным для $\angle ACB$, но на рисунке $F$ лежит на продолжении стороны, значит $\angle ACB$ и $\angle ECF$ — вертикальные или смежные в зависимости от построения. По рисунку $\angle ACB = 84^{\circ}$. 3) В $\triangle CEF$: угол $\angle E = 24^{\circ}$, $\angle C = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$ (смежный). 4) $\angle F = 180^{\circ} - (96^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. **Ответ: $60^{\circ}$**. 4. Доказательство (рис. 55): 1) Так как $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$, то четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм (по определению). 2) В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать. 5. В $\triangle MNF$ (прямоугольный, $\angle N = 90^{\circ}$): 1) $\angle M = 30^{\circ}$, значит $\angle MFN = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 2) $FD$ — биссектриса $\angle MFN$, значит $\angle NFD = \angle MFD = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$. 3) В прямоугольном $\triangle DNF$ катет $DN$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $DN = \frac{1}{2} FD = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см. 4) В $\triangle MDF$: $\angle M = 30^{\circ}$ и $\angle MFD = 30^{\circ}$. Значит, $\triangle MDF$ — равнобедренный, $MD = FD = 20$ см. 5) Катет $MN = MD + DN = 20 + 10 = 30$ см. **Ответ: 30 см**.