1. В группе 51 человек, среди них Алексей и Пётр. Группу разбивают случайным образом на 3 равные по численности подгруппы. Найдите вероятность того, что Алексей и Пётр попадут в одну группу.

1. Всего 51 человек. В каждой группе по $51 : 3 = 17$ мест. Пусть Алексей уже занял место в какой-то группе. В этой группе осталось 16 свободных мест, а всего свободных мест осталось 50. Вероятность того, что Пётр попадёт в ту же группу: $P = \frac{16}{50} = 0,32$. **Ответ: 0,32** 2. Всего 201 стул. Пусть первая девочка села на любой стул. Чтобы между девочками сидел ровно один мальчик, вторая девочка должна занять стул через один от первой (слева или справа). Таких подходящих мест 2. Всего свободных мест осталось 200. Вероятность: $P = \frac{2}{200} = 0,01$. **Ответ: 0,01** 3. Группы из Дании, Швеции и Норвегии могут располагаться относительно друг друга $3! = 6$ способами. Условию «Дания после Швеции и после Норвегии» (т.е. Дания третья в этой тройке) удовлетворяют 2 перестановки: (Швеция, Норвегия, Дания) и (Норвегия, Швеция, Дания). Вероятность: $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,33$. **Ответ: 0,33** 4. В каждой игре вероятность начать первой составляет 0,5. Игры независимы. Вероятность того, что «Статор» начнет 1-ю (да), 2-ю (нет) и 3-ю (да) игры: $P = 0,5 \cdot (1 - 0,5) \cdot 0,5 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125$. **Ответ: 0,125** 5. Сумма вероятностей всех событий равна 1: $P(a)+P(b)+P(c)+P(d)+P(e)=1$. Подставим известные: $0,2 + 0,1 + 0,3 + P(d) + P(e) = 1 \Rightarrow P(d) + P(e) = 0,4$. Известно, что $P(e) = P(d) - 0,1$. Тогда $P(d) + P(d) - 0,1 = 0,4 \Rightarrow 2P(d) = 0,5 \Rightarrow P(d) = 0,25$. $P(e) = 0,25 - 0,1 = 0,15$. **Ответ: P(d) = 0,25; P(e) = 0,15** 6. События элементарные, значит они несовместны. $P(a) + P(b) = 0,3$ $P(a) + P(c) = 0,8$ $P(a) + P(b) + P(c) = 1$ Из 3-го и 1-го уравнений: $0,3 + P(c) = 1 \Rightarrow P(c) = 0,7$. Из 2-го уравнения: $P(a) + 0,7 = 0,8 \Rightarrow P(a) = 0,1$. Из 1-го уравнения: $0,1 + P(b) = 0,3 \Rightarrow P(b) = 0,2$. **Ответ: P(a) = 0,1; P(b) = 0,2; P(c) = 0,7**