№ 2. Длины сторон треугольника ABC соответственно равны: BC=15 см, AB=13 см, AC=4 см. Через сторону AC проведена плоскость α, составляющая с плоскостью данного треугольника угол 30°. Найдите расстояние от вершины B до плоскости α.

1. Сначала найдём площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона. Полупериметр $p = \frac{15 + 13 + 4}{2} = 16$ см. $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16 \cdot (16-15) \cdot (16-13) \cdot (16-4)} = \sqrt{16 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 12} = \sqrt{576} = 24$ см². 2. Найдём высоту треугольника $BH$, проведённую к стороне $AC$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH \Rightarrow 24 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot BH \Rightarrow BH = \frac{24 \cdot 2}{4} = 12$ см. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $BH$ (наклонная к плоскости $\alpha$), её проекцией на плоскость $\alpha$ и перпендикуляром из точки $B$ к плоскости $\alpha$ (искомое расстояние $d$). Угол между плоскостью треугольника и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$, значит, угол между высотой $BH$ и плоскостью $\alpha$ также $30^\circ$. 4. В прямоугольном треугольнике катет $d$, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы $BH$: $d = BH \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см. **Ответ: 6 см.**