Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб, диагонали которого равны 1,6 дм и 3 дм, боковое ребро призмы равно 10 дм. Найдите площади боковой и полной поверхности призмы.

1. Найдем сторону ромба $a$ через диагонали $d_1 = 1,6$ дм и $d_2 = 3$ дм по формуле: $a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{0,8^2 + 1,5^2} = \sqrt{0,64 + 2,25} = \sqrt{2,89} = 1,7$ дм. Периметр основания: $P = 4a = 4 \cdot 1,7 = 6,8$ дм. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot h = 6,8 \cdot 10 = 68$ дм$^2$. Площадь основания: $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 1,6 \cdot 3 = 2,4$ дм$^2$. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 68 + 2 \cdot 2,4 = 72,8$ дм$^2$. **Ответ: 68 дм$^2$; 72,8 дм$^2$**. 2. Пусть сторона квадрата (основания) равна $a$. Диагональ основания $d = a\sqrt{2} = 16 \Rightarrow a = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}$ дм. В прямоугольном параллелепипеде боковая грань — прямоугольник. Его диагональ $D_{гр} = 18$ дм, одна сторона — ребро основания $a = 8\sqrt{2}$ дм, вторая — боковое ребро $h$. По теореме Пифагора: $h = \sqrt{D_{гр}^2 - a^2} = \sqrt{18^2 - (8\sqrt{2})^2} = \sqrt{324 - 128} = \sqrt{196} = 14$ дм. **Ответ: 14 дм**. 3. В правильной четырехугольной пирамиде высота $H = 3a$, апофема $L = 5a$. Найдем половину стороны основания $m$ из прямоугольного треугольника, образованного высотой, апофемой и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны: $m = \sqrt{L^2 - H^2} = \sqrt{(5a)^2 - (3a)^2} = \sqrt{25a^2 - 9a^2} = \sqrt{16a^2} = 4a$. Тогда сторона основания $b = 2m = 8a$. Площадь основания: $S_{осн} = b^2 = (8a)^2 = 64a^2$. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} P L = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 8a) \cdot 5a = 16a \cdot 5a = 80a^2$. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 64a^2 + 80a^2 = 144a^2$. **Ответ: 144a$^2$**.