Контрольная работа по теме «Параллельные прямые, сумма углов треугольника» 7 класс Вариант 1

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. Углы при основании: $38^{\circ}$ и $38^{\circ}$. Угол при вершине: $180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. **Ответ: $104^{\circ}$**. 2. Сумма внутренних углов треугольника равна внешнему углу, не смежному с ними. Обозначим неизвестный внутренний угол треугольника как $x$. Угол, смежный с внешним углом $135^{\circ}$, равен $180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$. Тогда $\angle 1 = 180^{\circ} - (28^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 73^{\circ} = 107^{\circ}$. **Ответ: $107^{\circ}$**. 3. Рассмотрим треугольник $ABF$: $\angle BAF = 28^{\circ} + 10^{\circ} = 38^{\circ}$. Внешний угол при вершине $F$ равен $72^{\circ}$. $\\angle ABF = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$ (смежные). В треугольнике $ABC$ сумма углов $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$. На рисунке 51 точка $F$ лежит на $BC$. Из треугольника $ADC$: $\angle DAC = 28^{\circ}$. Из треугольника $ABF$: $\angle B = 180^{\circ} - (38^{\circ} + (180^{\circ} - 72^{\circ})) = 72^{\circ} - 38^{\circ} = 34^{\circ}$. В треугольнике $ABC$: $\angle C = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle B = 180^{\circ} - 38^{\circ} - 34^{\circ} = 108^{\circ}$. **Ответ: $108^{\circ}$**. 4. При пересечении параллельных прямых секущей образуются 8 углов, которые принимают всего два значения. Если один угол $\alpha = 55^{\circ}$, то: Смежный с ним угол равен $180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ}$. Вертикальные и накрест лежащие углы будут равны либо $55^{\circ}$, либо $125^{\circ}$. **Ответ: три угла по $55^{\circ}$ и четыре угла по $125^{\circ}$**. 5. Прямые $MN$ и $AC$ параллельны, так как сумма односторонних углов $\angle MKD + \angle KDA = 73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$. Тогда $\angle F$ (внутренний угол треугольника $KFC$ при вершине $F$) и угол $\angle C = 44^{\circ}$ являются накрест лежащими при секущей $FC$, значит они равны. Однако на рисунке искомый угол $F$ — это $\angle KFC$. В треугольнике $KFC$ угол $\angle K = 180^{\circ} - 73^{\circ} = 107^{\circ}$ (смежный). Сумма углов треугольника $KFC$: $\angle F = 180^{\circ} - (107^{\circ} + 44^{\circ}) = 180^{\circ} - 151^{\circ} = 29^{\circ}$. **Ответ: $29^{\circ}$**. 6. Так как $AD$ — биссектриса $\angle BAC$, то $\angle FAD = \angle DAC = \angle BAC : 2 = 72^{\circ} : 2 = 36^{\circ}$. По условию $DF \parallel AB$. При параллельных прямых $DF$ и $AB$ и секущей $AD$ накрест лежащие углы равны: $\angle FDA = \angle FAD = 36^{\circ}$. В треугольнике $ADF$ мы нашли два угла по $36^{\circ}$. Третий угол $\angle AFD = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$. **Ответ: $36^{\circ}, 36^{\circ}, 108^{\circ}$**.