ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольный параллелепипед, ∠B₁DB = 45°, AD = 8, B₁D = 10√2. Найдите S полн.

Для нахождения площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда $S_{\text{полн}} = 2(AB \cdot AD + AD \cdot BB_1 + AB \cdot BB_1)$ нам нужно найти длины его рёбер. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1BD$ (где $\angle B_1BD = 90^\circ$): - По условию $\angle B_1DB = 45^\circ$, значит, треугольник равнобедренный: $BB_1 = BD$. - Используя гипотенузу $B_1D = 10\sqrt{2}$ и соотношения в равнобедренном прямоугольном треугольнике: $BD = B_1D \cdot \cos 45^\circ = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10$. - Следовательно, высота параллелепипеда $BB_1 = BD = 10$. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$ в основании (где $\angle BAD = 90^\circ$): - По теореме Пифагора: $AB^2 + AD^2 = BD^2$. - Подставим известные значения ($AD = 8, BD = 10$): $AB^2 + 8^2 = 10^2 \Rightarrow AB^2 + 64 = 100 \Rightarrow AB^2 = 36 \Rightarrow AB = 6$. 3. Вычислим площадь полной поверхности: $S_{\text{полн}} = 2(AB \cdot AD + AD \cdot BB_1 + AB \cdot BB_1)$ $S_{\text{полн}} = 2(6 \cdot 8 + 8 \cdot 10 + 6 \cdot 10) = 2(48 + 80 + 60) = 2 \cdot 188 = 376$. **Ответ: 376**