Докажите, что ΔABC = ΔA1B1C1, если AB = A1B1 и BD = B1D1.

267. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $A_1B_1D_1$: 1. $\angle A = \angle A_1 = 90^{\circ}$ (по условию). 2. $BD = B_1D_1$ (по условию). 3. $\angle B = \angle B_1$, значит $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$, так как $BD$ и $B_1D_1$ — биссектрисы (половины равных углов равны). Следовательно, $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует, что $AB = A_1B_1$. Теперь рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$: 1. $AB = A_1B_1$ (доказано выше). 2. $\angle A = \angle A_1 = 90^{\circ}$ (по условию). 3. $\angle B = \angle B_1$ (по условию). Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. 268. Пусть $BM$ и $CK$ — высоты к боковым сторонам $AC$ и $AB$. В четырехугольнике $AKM B$ сумма углов $360^{\circ}$. Однако проще рассмотреть $\triangle BMC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании $BC$ равны: $\angle ABC = \angle ACB = x$. В $\triangle BMC$ (прямоугольном): $\angle MCB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - (180^{\circ} - 140^{\circ}) = 50^{\circ}$ (если использовать внешний угол). Пусть $\angle MBC = \alpha$. В $\triangle BMC$: $\angle BMC + \angle MBC + \angle MCB = 180^{\circ}$. Так как треугольник равнобедренный, высоты пересекаются под углом, дополняющим угол при вершине до $180^{\circ}$. $\angle A = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$. Углы при основании: $(180^{\circ} - 40^{\circ}) : 2 = 70^{\circ}$. **Ответ: 40°, 70°, 70°.** 269. В $\triangle AMB$ сумма углов равна $180^{\circ}$. Найдем углы $\triangle ABC$: $\angle C = 180^{\circ} - (55^{\circ} + 67^{\circ}) = 58^{\circ}$. В прямоугольном $\triangle AA_1C$: $\angle A_1AC = 90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ}$. Тогда $\angle BAA_1 = \angle A - \angle A_1AC = 55^{\circ} - 32^{\circ} = 23^{\circ}$. В прямоугольном $\triangle BB_1A$: $\angle AB B_1 = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ}$. В $\triangle AMB$: $\angle AMB = 180^{\circ} - (\angle BAA_1 + \angle AB B_1) = 180^{\circ} - (23^{\circ} + 35^{\circ}) = 122^{\circ}$. **Ответ: 122°.** 270. В равнобедренном $\triangle ABC$ с основанием $AC$: $AB=BC$, $\angle A = \angle C$. $AH$ — высота, значит $\triangle AHC$ прямоугольный. $\angle HAC = 90^{\circ} - \angle C$. $AF$ — биссектриса, значит $\angle FAC = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \angle C$. Между ними $\angle HAF = 112^{\circ}$ (внешний или тупой). Обычно ищут острый угол между прямыми. Если $\angle HAF = 112^{\circ}$, это значит, что высота упала вне треугольника. Для школьной задачи чаще: $|\angle HAC - \angle FAC| = 112^{\circ}$ невозможно. Вероятно, опечатка в условии или $11,2^{\circ}$. Если $\angle C = x$, то $|(90-x) - 0.5x| = 112$ не дает адекватных углов треугольника. Допущение: $112^{\circ}$ — это угол между прямыми, содержащими биссектрису и высоту. Тогда смежный угол $180 - 112 = 68^{\circ}$. $90 - x - 0.5x = 68 \Rightarrow 1.5x = 22 \Rightarrow x = 14.6^{\circ}$. Если взять тупой угол: $0.5x - (90 - x) = 112 \Rightarrow 1.5x = 202 \Rightarrow x > 180$ (невозможно). **Недостаточно точных данных или опечатка в значении 112°.**