Отрезок $BB_1$ — медиана треугольника $ABC$. Выразите векторы $\vec{B_1C}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ через $\vec{x} = \vec{AB_1}$ и $\vec{y} = \vec{AB}$.

Для решения задачи воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов, а также свойством медианы (точка $B_1$ делит сторону $AC$ пополам). 1. Так как $BB_1$ — медиана, то $B_1$ — середина $AC$. Следовательно, $\vec{AB_1} = \vec{B_1C} = \vec{x}$. Ответ: $\vec{B_1C} = \vec{x}$. 2. По правилу вычитания векторов (или правилу треугольника): $\vec{BB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AB} = \vec{x} - \vec{y}$. Ответ: $\vec{BB_1} = \vec{x} - \vec{y}$. 3. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, значит $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{y}$. Ответ: $\vec{BA} = -\vec{y}$. 4. По правилу сложения векторов: $\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}$. Так как $B_1$ — середина $AC$, то $\vec{AC} = 2\vec{AB_1} = 2\vec{x}$. Тогда $\vec{BC} = -\vec{y} + 2\vec{x} = 2\vec{x} - \vec{y}$. Ответ: $\vec{BC} = 2\vec{x} - \vec{y}$.