На рисунке 135 лучи BO и CO — биссектрисы углов B и C треугольника ABC, OE || AB, OD || AC. Докажите, что периметр ΔEDO равен длине отрезка BC.

Question

Вопрос:

На рисунке 135 лучи BO и CO — биссектрисы углов B и C треугольника ABC, OE || AB, OD || AC. Докажите, что периметр ΔEDO равен длине отрезка BC.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для доказательства того, что периметр $\triangle EDO$ равен длине отрезка $BC$, выполним следующие шаги: 1. Рассмотрим $\triangle BEO$. По условию $BO$ — биссектриса угла $B$, значит, $\angle EBO = \angle OBC$. Так как $OE \parallel AB$, то $\angle EOB = \angle ABO$ (как накрест лежащие при параллельных прямых $OE$, $AB$ и секущей $BO$). Но $\angle ABO = \angle OBC$, следовательно, $\angle EBO = \angle EOB$. Значит, $\triangle BEO$ — равнобедренный, и $BE = EO$. 2. Рассмотрим $\triangle CDO$. Аналогично, $CO$ — биссектриса угла $C$, значит, $\angle DCO = \angle OCB$. Так как $OD \parallel AC$, то $\angle DOC = \angle ACO$ (как накрест лежащие при параллельных прямых $OD$, $AC$ и секущей $CO$). Но $\angle ACO = \angle OCB$, следовательно, $\angle DCO = \angle DOC$. Значит, $\triangle CDO$ — равнобедренный, и $CD = DO$. 3. Периметр $\triangle EDO$ равен сумме его сторон: $P_{EDO} = ED + DO + EO$. 4. Заменим в этой формуле $DO$ на $CD$, а $EO$ на $BE$ (на основании доказанного выше): $P_{EDO} = ED + CD + BE$. 5. Сумма отрезков $BE + ED + DC$ составляет длину всего отрезка $BC$. Таким образом, $P_{EDO} = BC$. Что и требовалось доказать.

На рисунке 135 лучи BO и CO — биссектрисы углов B и C треугольника ABC, OE || AB, OD || AC. Докажите, что периметр ΔEDO равен длине отрезка BC.

Ответ ассистента

Другие решения