Вариант II. 1. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна $S_{бок} = \frac{1}{2} P a$, где $P$ — периметр основания, $a$ — апофема. Периметр $P = 6 \times 10 = 60$. Апофему найдём из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, высотой боковой грани и половиной стороны основания ($5$): $a = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12$. $S_{бок} = \frac{1}{2} \times 60 \times 12 = 360$. **Ответ: 360**. 2. Площадь поверхности — это сумма площадей основания и боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$. $S_{осн} = 20^2 = 400$. Найдём апофему $a$: она является гипотенузой в треугольнике с катетами, равными высоте ($24$) и половине стороны основания ($10$): $a = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = 26$. $S_{бок} = \frac{1}{2} P a = \frac{1}{2} \times (4 \times 20) \times 26 = 40 \times 26 = 1040$. $S_{полн} = 400 + 1040 = 1440$. **Ответ: 1440**. 3. $S_{бок} = \frac{1}{2} P \times PM$. Периметр $P = 3 \times AB = 3 \times 6 = 18$. Подставим известные значения: $126 = \frac{1}{2} \times 18 \times PM$. $126 = 9 \times PM$. $PM = 126 : 9 = 14$. **Ответ: 14**. 4. Допущение: Грань $PBC$ составляет угол $60^\circ$ с основанием. Пусть $H$ — середина $BC$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB=AC=5$), то $AH \perp BC$. По теореме о трех перпендикулярах $PH \perp BC$, значит $\angle PHA = 60^\circ$ — линейный угол двугранного угла при основании. В $\triangle ABH$: $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$. В $\triangle PAH$: $PA = AH \times \text{tg} 60^\circ = 3\sqrt{3}$, $PH = \frac{AH}{\cos 60^\circ} = \frac{3}{0,5} = 6$. Боковая поверхность состоит из трех треугольников: $S_{PAB} = S_{PAC} = \frac{1}{2} \times AC \times PA = \frac{1}{2} \times 5 \times 3\sqrt{3} = 7,5\sqrt{3}$. $S_{PBC} = \frac{1}{2} \times BC \times PH = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$. $S_{бок} = 2 \times 7,5\sqrt{3} + 24 = 15\sqrt{3} + 24$. **Ответ: $15\sqrt{3} + 24$**. 5. В прямоугольном $\triangle ABC$: $BC=5, \angle A=30^\circ$. Тогда $AB = \frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{0,5} = 10$, $AC = AB \times \cos 30^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$. Так как все ребра наклонены под одним углом, вершина проектируется в центр описанной окружности $O$, который в прямоугольном треугольнике лежит на середине гипотенузы $AB$. $R = AO = \frac{AB}{2} = 5$. В $\triangle PAO$ ($\angle O = 90^\circ, \angle A = 60^\circ$): $H = AO \times \text{tg} 60^\circ = 5\sqrt{3}$. **Ответ: $5\sqrt{3}$**.