Углы треугольника ABC относятся так: ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3. Биссектриса BM угла ABC равна 12. Найдите длину отрезка MC.

1. Найдем углы треугольника $ABC$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Пусть одна часть составляет $x$. Тогда $\angle A = x, \angle B = 2x, \angle C = 3x$. $x + 2x + 3x = 180^{\circ} \Rightarrow 6x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 30^{\circ}$. Углы треугольника: $\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 90^{\circ}$. 2. Рассмотрим биссектрису $BM$. Так как она делит $\angle B = 60^{\circ}$ пополам, то $\angle ABM = \angle MBC = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3. Рассмотрим треугольник $MBC$. Он прямоугольный (так как $\angle C = 90^{\circ}$). В нем $\angle MBC = 30^{\circ}$ и гипотенуза $BM = 12$. По свойству прямоугольного треугольника: катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. $MC = \frac{1}{2} \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$. **Ответ: 6**.