1. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ каждая из сторон основания равна 2√3/3, а боковое ребро — 2√3. M — центр грани CC₁B₁B. Найдите угол между прямой AM и плоскостью основания. 2. В правильной четырехугольной призме каждая из сторон основания равна 4 см. Через диагональ основания под углом 45° к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найдите площадь сечения.

1. В правильной треугольной призме основание — равносторонний треугольник $ABC$. Пусть $M$ — центр грани $CC_1B_1B$. Так как призма правильная, боковые грани — прямоугольники. Центр грани $M$ проецируется в точку $H$, которая является серединой стороны $BC$. Угол между прямой $AM$ и плоскостью основания — это угол $\angle MAH$ в прямоугольном треугольнике $AMH$ ($MH \perp AH$, так как $MH$ — часть высоты боковой грани, перпендикулярной основанию). $MH = \frac{1}{2} CC_1 = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$. $AH$ — высота основания (равностороннего треугольника): $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} = 1$. В $\triangle MAH$: $\text{tg}\angle MAH = \frac{MH}{AH} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$. $\angle MAH = 60^{\circ}$. **Ответ: 60°.** 2. Пусть в правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания $a = 4$ см. Сечение проходит через диагональ основания $AC$ и пересекает боковое ребро $DD_1$ в точке $K$. Проекция сечения $ACK$ на плоскость основания — это треугольник $ACD$. Площадь проекции $S_{ACD} = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} \cdot 4^2 = 8$ см$^2$. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания $\alpha = 45^{\circ}$. По теореме о площади проекции многоугольника: $S_{\text{сеч}} = \frac{S_{\text{пр}}}{\cos\alpha}$. $S_{\text{сеч}} = \frac{8}{\cos 45^{\circ}} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}$ см$^2$. **Ответ: 8√2 см².**