Задача 1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 85°, угол CAD равен 19°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

### Задача 1. 1. Углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ опираются на одну и ту же дугу $AD$, значит они равны: $\angle ACD = \angle ABD = 85^{\circ}$. 2. Углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на одну и ту же дугу $CD$, значит они равны: $\angle CBD = \angle CAD = 19^{\circ}$. 3. Угол $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 85^{\circ} + 19^{\circ} = 104^{\circ}$. **Ответ: 104**. ### Задача 2. 1. Угол $\angle AMB$ опирается на диаметр $AB$, поэтому он прямой: $\angle AMB = 90^{\circ}$. 2. Углы $\angle NMB$ и $\angle NAB$ опираются на одну и ту же дугу $NB$, значит $\angle NMB = \angle NAB$. 3. В прямоугольном треугольнике $ANB$ (где $\angle ANB = 90^{\circ}$ как опирающийся на диаметр): $\angle NAB = 90^{\circ} - \angle NBA = 90^{\circ} - 69^{\circ} = 21^{\circ}$. 4. Следовательно, $\angle NMB = 21^{\circ}$. **Ответ: 21**. ### Задача 3. 1. Если центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, то $AB$ — диаметр, а треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом $C = 90^{\circ}$. 2. Гипотенуза $AB$ равна двум радиусам: $AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 20 = 40$. 3. По теореме Пифагора: $BC^2 = AB^2 - AC^2 = 40^2 - 32^2 = 1600 - 1024 = 576$. 4. $BC = \sqrt{576} = 24$. **Ответ: 24**. ### Задача 4. 1. В треугольнике $BOC$: $OB = OC$ (как радиусы), значит треугольник равнобедренный и $\angle OBC = \angle OCB = 23^{\circ}$. 2. Угол $\angle BOC = 180^{\circ} - (23^{\circ} + 23^{\circ}) = 134^{\circ}$. 3. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ — вертикальные, значит $\angle AOD = \angle BOC = 134^{\circ}$. **Ответ: 134**. ### Задача 5. 1. Углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на одну и ту же дугу $CD$, значит они равны: $\angle CBD = \angle CAD = 81^{\circ}$. 2. Угол $\angle ABC$ состоит из углов $\angle ABD$ и $\angle CBD$: $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$. 3. Находим $\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 134^{\circ} - 81^{\circ} = 53^{\circ}$. **Ответ: 53**.