13. Дано: A...C1 — правильная призма. Найти: угол между пл. BA1C и пл. ABC. 14. Дано: A...C1 — правильная призма, AA1C1C — квадрат. Найти: угол между пл. AKC и пл. ABC.

13. В правильной треугольной призме основание $ABC$ — правильный треугольник, а боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию. 1. Проведём высоту $BD$ в $\triangle ABC$. Так как треугольник правильный, $BD \perp AC$. 2. По теореме о трёх перпендикулярах, если $BD \perp AC$, то и наклонная $B_1D$ (или в данном случае линия из точки $B$ к плоскости сечения) будет формировать линейный угол. Искомый угол — это угол между высотой основания и наклонной к плоскости сечения. Однако проще рассмотреть угол $\angle A_1DA$, где $D$ — середина $AC$. В сечении $BA_1C$ высота из $A_1$ к $AC$ падает в середину $D$. 3. $AD = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. 4. В $\triangle ABC$ высота $BD = AB \cdot \sin 60^\circ = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9$. 5. Но нам нужен угол между плоскостями $(BA_1C)$ и $(ABC)$. Линия пересечения — $AC$. Проведём медиану (и высоту) $BD \perp AC$ в основании и медиану (и высоту) $A_1D$ в $\triangle A_1AC$ (это неверно, $A_1$ не над $B$). 6. Верный путь: Линия пересечения — $BC$. Опустим перпендикуляр из $A_1$ на $BC$. Пусть это точка $H$. Так как $AA_1 \perp (ABC)$, то по ТТП $AH \perp BC$. В равностороннем $\triangle ABC$ высота $AH = AB \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9$. 7. Искомый угол $\alpha = \angle A_1HA$ в прямоугольном $\triangle A_1AH$. 8. $\tan \alpha = \frac{AA_1}{AH} = \frac{9}{9} = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ$. **Ответ: 45**. 14. Дано: $AA_1C_1C$ — квадрат, значит $AA_1 = AC = 12\sqrt{3}$. 1. Линия пересечения плоскостей $(AKC)$ и $(ABC)$ — это прямая $AC$. 2. Проведём высоту $KB'$ из точки $K$ на плоскость основания. Так как $K$ — середина $BB_1$, то точка $B'$ совпадает с $B$, и $KB \perp (ABC)$. 3. В основании $\triangle ABC$ проведём высоту $BH \perp AC$. 4. По теореме о трёх перпендикулярах $KH \perp AC$. Значит, $\angle KHB$ — искомый линейный угол $\beta$. 5. $BH = AB \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18$. 6. Высота призмы равна стороне квадрата $AA_1 = AC = 12\sqrt{3}$. Так как $K$ — середина $BB_1$, то $KB = \frac{1}{2} AA_1 = 6\sqrt{3}$. 7. $\tan \beta = \frac{KB}{BH} = \frac{6\sqrt{3}}{18} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \beta = 30^\circ$. **Ответ: 30**.